2次関数 $y = x^2 - 2x - m - 1$ のグラフとx軸の共有点の個数が、パラメータ $m$ の値によってどのように変化するかを調べます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x - m - 1$ のグラフとx軸の共有点の個数が、パラメータ $m$ の値によってどのように変化するかを調べます。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = x^2 - 2x - m - 1$ のグラフとx軸の共有点の個数は、2次方程式 $x^2 - 2x - m - 1 = 0$ の実数解の個数に等しいです。

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = (-2)^2 - 4(1)(-m-1) = 4 + 4m + 4 = 4m + 8$

共有点の個数は、判別式 $D$ の符号によって決まります。

* $D > 0$ のとき、実数解は2個なので、共有点は2個。

* $D = 0$ のとき、実数解は1個なので、共有点は1個。

* $D < 0$ のとき、実数解は0個なので、共有点は0個。

したがって、$D = 4m + 8$ の符号を調べます。

* $4m + 8 > 0$ のとき、$4m > -8$ より $m > -2$。このとき、共有点は2個。

* $4m + 8 = 0$ のとき、$4m = -8$ より $m = -2$。このとき、共有点は1個。

* $4m + 8 < 0$ のとき、$4m < -8$ より $m < -2$。このとき、共有点は0個。

3. 最終的な答え

$m > -2$ のとき、共有点は2個。

$m = -2$ のとき、共有点は1個。

$m < -2$ のとき、共有点は0個。