写真には3つの二重根号の簡略化問題があります。 (1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$

1. 問題の内容

写真には3つの二重根号の簡略化問題があります。

(1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$

$7 + 2\sqrt{10}$ を $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ の形に書き換えることを考えます。

$a + b = 7$ かつ $ab = 10$ となる $a, b$ を見つけます。

$a = 5, b = 2$ が条件を満たすので、

$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$

$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{12 - 2\sqrt{27}}$ と変形します。

$a + b = 12$ かつ $ab = 27$ となる $a, b$ を見つけます。

$a = 9, b = 3$ が条件を満たすので、

$\sqrt{12 - 2\sqrt{27}} = \sqrt{(\sqrt{9} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{9} - \sqrt{3} = 3 - \sqrt{3}$

(3) $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ と変形します。

$a + b = 4$ かつ $ab = 3$ となる $a, b$ を見つけます。

$a = 3, b = 1$ が条件を満たすので、

$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{1})^2} = \sqrt{3} - 1$

したがって、

$\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $3 - \sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$