不等式 $2x + 3 \ge \frac{4}{3}(x+1) + a$ の解が $x \ge \frac{\text{ア} a - \text{イ}}{\text{ウ}}$ と表される。さらに、不等式の解が $x=3$ を含み、$x=-1$ を含まないとき、$a$ の範囲が $\text{エ} < a \le \frac{\text{オカ}}{\text{キ}}$ となる。この範囲を満たす整数 $a$ の個数を求める。

1. 問題の内容

不等式 $2x + 3 \ge \frac{4}{3}(x+1) + a$ の解が $x \ge \frac{\text{ア} a - \text{イ}}{\text{ウ}}$ と表される。さらに、不等式の解が $x=3$ を含み、$x=-1$ を含まないとき、$a$ の範囲が $\text{エ} < a \le \frac{\text{オカ}}{\text{キ}}$ となる。この範囲を満たす整数 $a$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を解く。

$2x + 3 \ge \frac{4}{3}(x+1) + a$

両辺に3を掛ける。

$6x + 9 \ge 4(x+1) + 3a$

$6x + 9 \ge 4x + 4 + 3a$

$2x \ge 3a - 5$

$x \ge \frac{3a - 5}{2}$

したがって、$x \ge \frac{\text{ア} a - \text{イ}}{\text{ウ}}$ と比較して、ア=3, イ=5, ウ=2 である。

次に、$x=3$ を含むことから、

$3 \ge \frac{3a - 5}{2}$

$6 \ge 3a - 5$

$11 \ge 3a$

$a \le \frac{11}{3}$

また、$x=-1$ を含まないことから、

$-1 < \frac{3a - 5}{2}$

$-2 < 3a - 5$

$3 < 3a$

$a > 1$

したがって、$1 < a \le \frac{11}{3}$ である。

$\frac{11}{3} = 3.666...$ より、$1 < a \le \frac{11}{3}$ を満たす整数 $a$ は 2 と 3 である。

したがって、エ=1, オカ=11, キ=3 であり、これを満たす整数 $a$ は 2個である。

3. 最終的な答え

ア=3

イ=5

ウ=2

エ=1

オカ=11

キ=3

ク=2