数列の初項から第 $n$ 項までの和を $\Sigma$ を用いて表す問題です。 (1) $1, 4, 7, 10, ...$ (2) $1, 3, 9, 27, ...$

1. 問題の内容

数列の初項から第 $n$ 項までの和を $\Sigma$ を用いて表す問題です。

(1) $1, 4, 7, 10, ...$

(2) $1, 3, 9, 27, ...$

2. 解き方の手順

(1)

数列 $1, 4, 7, 10, ...$ は初項 $a_1 = 1$、公差 $d = 3$ の等差数列です。

第 $k$ 項 $a_k$ は $a_k = a_1 + (k-1)d = 1 + (k-1)3 = 3k - 2$ と表されます。

よって、初項から第 $n$ 項までの和は $\Sigma$ を用いて

$\sum_{k=1}^{n} (3k - 2)$ と表されます。

(2)

数列 $1, 3, 9, 27, ...$ は初項 $a_1 = 1$、公比 $r = 3$ の等比数列です。

第 $k$ 項 $a_k$ は $a_k = a_1 r^{k-1} = 1 \cdot 3^{k-1} = 3^{k-1}$ と表されます。

よって、初項から第 $n$ 項までの和は $\Sigma$ を用いて

$\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$ と表されます。

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{n} (3k - 2)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$