与えられた行列 $A$ の逆行列を、逆行列の公式を用いて求めよ。逆行列が存在しない場合は「なし」と答える。 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の逆行列を、逆行列の公式を用いて求めよ。逆行列が存在しない場合は「なし」と答える。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

次に、余因子行列 $C$ を計算します。余因子行列の各要素 $C_{ij}$ は、$A$ の $i$ 行と $j$ 列を取り除いた小行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ をかけたものです。

その後、余因子行列の転置行列 $C^T$ を計算します。

最後に、逆行列 $A^{-1}$ は以下の式で求められます。

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T$

行列式が0の場合、逆行列は存在しません。

行列式 $|A|$ を計算する。

$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

$= 1(1 - 1 - 1 - (1 + 1 - 1)) - 1(1 + 1 + 1 - (-1 + 1 + 1)) + 1(-1 - 1 + 1 - (1 + 1 - 1)) + 1(-1 - 1 - 1 - (1 + 1 - 1))$

$= 1(-2) - 1(2) + 1(-2) + 1(-4)$

$= -2 - 2 - 2 - 4 = -10$

次に余因子行列を計算する。

$C_{11} = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -2$

$C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -2$

$C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -2$

$C_{14} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 4$

$C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -2$

$C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2$

$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 4$

$C_{24} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 4$

$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 4$

$C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2$

$C_{34} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2$

$C_{41} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 4$

$C_{42} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 4$

$C_{43} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 4$

$C_{44} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = -2$

$C = \begin{bmatrix} -2 & -2 & -2 & 4 \\ -2 & 2 & 4 & 2 \\ 4 & 4 & 2 & 2 \\ 4 & 4 & 4 & -2 \end{bmatrix}$

$C^T = \begin{bmatrix} -2 & -2 & 4 & 4 \\ -2 & 2 & 4 & 4 \\ -2 & 4 & 2 & 4 \\ 4 & 2 & 2 & -2 \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{-10} \begin{bmatrix} -2 & -2 & 4 & 4 \\ -2 & 2 & 4 & 4 \\ -2 & 4 & 2 & 4 \\ 4 & 2 & 2 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/5 & 1/5 & -2/5 & -2/5 \\ 1/5 & -1/5 & -2/5 & -2/5 \\ 1/5 & -2/5 & -1/5 & -2/5 \\ -2/5 & -1/5 & -1/5 & 1/5 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} 1/5 & 1/5 & -2/5 & -2/5 \\ 1/5 & -1/5 & -2/5 & -2/5 \\ 1/5 & -2/5 & -1/5 & -2/5 \\ -2/5 & -1/5 & -1/5 & 1/5 \end{bmatrix}$