実数 $a$ を変数とする2次関数 $f(x) = 2x^2 - 4ax + 4a^2 + 7a - 30$ について、$y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を $a$ の値によって分類する問題です。

1. 問題の内容

実数 $a$ を変数とする2次関数 $f(x) = 2x^2 - 4ax + 4a^2 + 7a - 30$ について、$y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を $a$ の値によって分類する問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次関数 $f(x)$ の判別式 $D$ を計算します。$x$軸との共有点の個数は、$D$ の符号によって決定されます。

$D > 0$ のとき共有点は2個、$D = 0$ のとき共有点は1個、$D < 0$ のとき共有点は0個です。

$f(x) = 2x^2 - 4ax + 4a^2 + 7a - 30$

判別式 $D$ は

$D = (-4a)^2 - 4(2)(4a^2 + 7a - 30) = 16a^2 - 8(4a^2 + 7a - 30) = 16a^2 - 32a^2 - 56a + 240 = -16a^2 - 56a + 240$

$D > 0$ となる $a$ の範囲を求めます。

$-16a^2 - 56a + 240 > 0$

$16a^2 + 56a - 240 < 0$

$2a^2 + 7a - 30 < 0$

$(2a - 5)(a + 6) < 0$

よって、$-6 < a < \frac{5}{2}$ のとき、$D > 0$ となり、共有点は2個です。

$D = 0$ となる $a$ の値を求めます。

$(2a - 5)(a + 6) = 0$

よって、$a = -6$ または $a = \frac{5}{2}$ のとき、$D = 0$ となり、共有点は1個です。

それ以外のとき、$D < 0$ となり、共有点は0個です。

3. 最終的な答え

-6 < a < 5/2 のとき2個

a = -6 または a = 5/2 のとき1個

それ以外の場合0個