問題は、以下の2つの連立一次方程式を解くことです。解が存在しない場合は、「解なし」と答えます。 (a) $ \begin{cases} x - y + 2z = 0 \\ 2x - 2y + 3z = -1 \\ 3x - 3y + z = -4 \end{cases} $ (b) $ \begin{cases} x + 3y + 7z = 0 \\ 2x + 7y + 17z = 0 \\ x + y + z = 0 \end{cases} $

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの連立一次方程式を解くことです。解が存在しない場合は、「解なし」と答えます。

(a)

$$

\begin{cases}

x - y + 2z = 0 \\

2x - 2y + 3z = -1 \\

3x - 3y + z = -4

\end{cases}

$$

(b)

$$

\begin{cases}

x + 3y + 7z = 0 \\

2x + 7y + 17z = 0 \\

x + y + z = 0

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(a)

第1式を2倍して第2式から引くと、$z = -1$が得られます。

$2(x - y + 2z) - (2x - 2y + 3z) = 2(0) - (-1)$

$z = 1$

第1式を3倍して第3式から引くと、$-5z = -4$となります。

$3(x - y + 2z) - (3x - 3y + z) = 3(0) - (-4)$

$5z = 4$

$z = \frac{4}{5}$

$z=1$と$z=\frac{4}{5}$が得られたため、この連立一次方程式は解なしです。

(b)

第3式から$x = -y - z$が得られます。

第1式に代入して$(-y - z) + 3y + 7z = 0$、つまり$2y + 6z = 0$、すなわち$y = -3z$が得られます。

第2式に代入して$2(-y - z) + 7y + 17z = 0$、つまり$5y + 15z = 0$、すなわち$y = -3z$が得られます。

したがって、$x = -y - z = -(-3z) - z = 3z - z = 2z$となります。

解は、$x = 2z$, $y = -3z$となります。$z$は任意の実数です。

例えば、$z = 1$のとき、$x = 2$, $y = -3$となります。

3. 最終的な答え

(a) 解なし

(b) $x = 2z$, $y = -3z$, $z$は任意の実数