与えられた連立一次方程式を解き、$x$, $y$, $z$ の値を求めます。解が存在しない場合は「解なし」と答えます。連立一次方程式は2つあります。 (a) $ \begin{cases} x - y + 2z = 0 \\ 2x - 2y + 3z = -1 \\ 3x - 3y + z = -4 \end{cases} $ (b) $ \begin{cases} x + 3y + 7z = 0 \\ 2x + 7y + 17z = 0 \\ x + y + z = 0 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解き、$x$, $y$, $z$ の値を求めます。解が存在しない場合は「解なし」と答えます。連立一次方程式は2つあります。

(a)

$$

\begin{cases}

x - y + 2z = 0 \\

2x - 2y + 3z = -1 \\

3x - 3y + z = -4

\end{cases}

$$

(b)

$$

\begin{cases}

x + 3y + 7z = 0 \\

2x + 7y + 17z = 0 \\

x + y + z = 0

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(a)の連立一次方程式を解きます。

まず、1つ目の式を2倍して2つ目の式から引きます。

$2(x - y + 2z) = 2x - 2y + 4z = 0$

$(2x - 2y + 3z) - (2x - 2y + 4z) = -1 - 0$

$-z = -1$

$z = 1$

次に、1つ目の式を3倍して3つ目の式から引きます。

$3(x - y + 2z) = 3x - 3y + 6z = 0$

$(3x - 3y + z) - (3x - 3y + 6z) = -4 - 0$

$-5z = -4$

$z = \frac{4}{5}$

ここで、$z$ の値が2種類出てきて矛盾します。したがって、この連立一次方程式は解なしです。

(b)の連立一次方程式を解きます。

まず、3つ目の式を2倍して2つ目の式から引きます。

$2(x + y + z) = 2x + 2y + 2z = 0$

$(2x + 7y + 17z) - (2x + 2y + 2z) = 0 - 0$

$5y + 15z = 0$

$5y = -15z$

$y = -3z$

次に、3つ目の式に $y = -3z$ を代入します。

$x + (-3z) + z = 0$

$x - 2z = 0$

$x = 2z$

したがって、連立一次方程式の解は、

$x = 2z$, $y = -3z$ （$z$ は任意）

$z = t$ とおくと、

$x = 2t$, $y = -3t$, $z = t$

3. 最終的な答え

(a) 解なし

(b) $x = 2t$, $y = -3t$, $z = t$ (tは任意の実数)