与えられた2つの不定方程式の整数解を全て求める問題です。 (1) $3x - 5y = 1$ (2) $75x + 64y = 1$

1. 問題の内容

与えられた2つの不定方程式の整数解を全て求める問題です。

(1) $3x - 5y = 1$

(2) $75x + 64y = 1$

2. 解き方の手順

(1) $3x - 5y = 1$

まず、特殊解を1つ見つけます。

$x = 2$, $y = 1$ が $3x - 5y = 1$ を満たします。つまり、$3(2) - 5(1) = 1$。

与えられた方程式 $3x - 5y = 1$ と $3(2) - 5(1) = 1$ の差をとると、

$3x - 3(2) - 5y + 5(1) = 0$

$3(x - 2) = 5(y - 1)$

3と5は互いに素なので、$x - 2 = 5k$ ($k$ は整数) とおくことができます。

$x = 5k + 2$

このとき、$3(5k) = 5(y - 1)$ より、$y - 1 = 3k$

$y = 3k + 1$

したがって、すべての整数解は $x = 5k + 2$, $y = 3k + 1$ ($k$ は整数) と表されます。

(2) $75x + 64y = 1$

まず、特殊解を1つ見つけます。

ユークリッドの互除法を利用して、$75$ と $64$ の最大公約数を求めます。

$75 = 64 \cdot 1 + 11$

$64 = 11 \cdot 5 + 9$

$11 = 9 \cdot 1 + 2$

$9 = 2 \cdot 4 + 1$

$2 = 1 \cdot 2 + 0$

最大公約数は1なので、不定方程式の解が存在します。

次に、ユークリッドの互除法の式を逆にたどります。

$1 = 9 - 2 \cdot 4$

$1 = 9 - (11 - 9 \cdot 1) \cdot 4 = 9 - 11 \cdot 4 + 9 \cdot 4 = 9 \cdot 5 - 11 \cdot 4$

$1 = (64 - 11 \cdot 5) \cdot 5 - 11 \cdot 4 = 64 \cdot 5 - 11 \cdot 25 - 11 \cdot 4 = 64 \cdot 5 - 11 \cdot 29$

$1 = 64 \cdot 5 - (75 - 64 \cdot 1) \cdot 29 = 64 \cdot 5 - 75 \cdot 29 + 64 \cdot 29 = 64 \cdot 34 - 75 \cdot 29$

$1 = 75(-29) + 64(34)$

したがって、$x = -29$, $y = 34$ が特殊解の1つです。

与えられた方程式 $75x + 64y = 1$ と $75(-29) + 64(34) = 1$ の差をとると、

$75(x + 29) + 64(y - 34) = 0$

$75(x + 29) = -64(y - 34)$

75と64は互いに素なので、$x + 29 = 64k$ ($k$ は整数) とおくことができます。

$x = 64k - 29$

このとき、$75(64k) = -64(y - 34)$ より、$75k = -(y - 34)$

$y - 34 = -75k$

$y = -75k + 34$

したがって、すべての整数解は $x = 64k - 29$, $y = -75k + 34$ ($k$ は整数) と表されます。

3. 最終的な答え

(1) $x = 5k + 2$, $y = 3k + 1$ ($k$ は整数)

(2) $x = 64k - 29$, $y = -75k + 34$ ($k$ は整数)