2次正方行列のうち、簡約なものは、以下の4つの行列の組み合わせで作れることを確認する問題です。ここで、「*」は任意の値を取りうることを意味します。 $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & * \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

2次正方行列のうち、簡約なものは、以下の4つの行列の組み合わせで作れることを確認する問題です。ここで、「*」は任意の値を取りうることを意味します。

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & * \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

簡約な2次正方行列の形を考えます。簡約な行列とは、階段行列であり、0でない行の最初の成分（leading entry）は1で、leading entryを含む列の他の成分は0である行列です。

考えられる簡約な2次正方行列は以下の4つです。

(1) $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$　（$a$ は任意の実数）

(3) $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

(4) $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

これらそれぞれが、問題で提示された4つの行列の組み合わせで作れることを示します。

(1)は、$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$そのものです。

(2)は、$\begin{bmatrix} 1 & * \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$の「*」に $a$ を代入すれば得られます。

(3)は、$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$そのものです。

(4)は、$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$そのものです。

したがって、任意の簡約な2次正方行列は、与えられた4つの行列の組み合わせで作れます。

3. 最終的な答え

与えられた4つの行列の組み合わせで、簡約な2次正方行列は作れる。