(1) $y = -2x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に1だけ平行移動したグラフの式を求め、グラフを描く。 (2) $y = \frac{2x-1}{x-2}$ の漸近線の式を求め、$y = \frac{1}{x}$ のグラフをどのように変形・移動したものか答え、与えられたグラフを描く。 (3) $y = -x^2 + 2x + 4$ のグラフを原点に関して対称移動した後のグラフの頂点の座標を求め、グラフを描く。

1. 問題の内容

(1) $y = -2x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に1だけ平行移動したグラフの式を求め、グラフを描く。

(2) $y = \frac{2x-1}{x-2}$ の漸近線の式を求め、$y = \frac{1}{x}$ のグラフをどのように変形・移動したものか答え、与えられたグラフを描く。

(3) $y = -x^2 + 2x + 4$ のグラフを原点に関して対称移動した後のグラフの頂点の座標を求め、グラフを描く。

2. 解き方の手順

(1)

$x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に1だけ平行移動するので、$x$ を $x-2$ に, $y$ を $y-1$ に置き換える。

$y-1 = -2(x-2)^2$

$y = -2(x^2 - 4x + 4) + 1$

$y = -2x^2 + 8x - 8 + 1$

$y = -2x^2 + 8x - 7$

頂点を求める。

$y = -2(x^2 - 4x) - 7$

$y = -2(x^2 - 4x + 4) - 7 + 8$

$y = -2(x - 2)^2 + 1$

頂点は $(2, 1)$

(2)

$y = \frac{2x-1}{x-2}$ を変形する。

$y = \frac{2(x-2) + 4 - 1}{x-2} = \frac{2(x-2) + 3}{x-2} = 2 + \frac{3}{x-2}$

$y - 2 = \frac{3}{x-2}$

$y = \frac{1}{x}$ のグラフを $x$ 軸方向に2倍拡大し、$x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に2だけ平行移動したもの。

漸近線は $x=2, y=2$

(3)

$y = -x^2 + 2x + 4$ を原点に関して対称移動する。

$(x, y)$ を $(-x, -y)$ に置き換える。

$-y = -(-x)^2 + 2(-x) + 4$

$-y = -x^2 - 2x + 4$

$y = x^2 + 2x - 4$

頂点を求める。

$y = (x^2 + 2x + 1) - 4 - 1$

$y = (x + 1)^2 - 5$

頂点は $(-1, -5)$

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 8x - 7$ 、頂点は $(2, 1)$

(2) 漸近線: $x=2, y=2$ 、$y = \frac{1}{x}$ のグラフを $x$ 軸方向に3倍拡大し、$x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に2だけ平行移動したもの

(3) 頂点: $(-1, -5)$