与えられた2つの行列 (a) と (b) の階数を求めます。ただし、(b) には実数 $a$ が含まれています。 (a) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 5 & 1 \\ 2 & 4 & 6 & 0 \end{pmatrix}$ (b) $\begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 & -1 \\ 2 & -4 & 8 & 6 \\ 1 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & -3 & 10 & a \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた2つの行列 (a) と (b) の階数を求めます。ただし、(b) には実数 $a$ が含まれています。

(a)

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & 1 \\

2 & 3 & 5 & 1 \\

2 & 4 & 6 & 0

\end{pmatrix}$

(b)

$\begin{pmatrix}

0 & -1 & -2 & -1 \\

2 & -4 & 8 & 6 \\

1 & -4 & 0 & 3 \\

2 & -3 & 10 & a

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(a) の行列の階数を求める。

行列を簡約化します。

1行目を基準に、2行目から1行目の2倍を引きます。また、3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 1 & 1 & -1 \\

0 & 2 & 2 & -2

\end{pmatrix}$

2行目を基準に、3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 1 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

これ以上簡約化できません。0でない行が2行あるので、行列の階数は2です。

(b) の行列の階数を求める。

行列を簡約化します。

1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix}

1 & -4 & 0 & 3 \\

2 & -4 & 8 & 6 \\

0 & -1 & -2 & -1 \\

2 & -3 & 10 & a

\end{pmatrix}$

1行目を基準に、2行目から1行目の2倍を引きます。また、4行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & -4 & 0 & 3 \\

0 & 4 & 8 & 0 \\

0 & -1 & -2 & -1 \\

0 & 5 & 10 & a-6

\end{pmatrix}$

2行目を4で割ります。

$\begin{pmatrix}

1 & -4 & 0 & 3 \\

0 & 1 & 2 & 0 \\

0 & -1 & -2 & -1 \\

0 & 5 & 10 & a-6

\end{pmatrix}$

2行目を基準に、3行目に2行目を足します。また、4行目から2行目の5倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & -4 & 0 & 3 \\

0 & 1 & 2 & 0 \\

0 & 0 & 0 & -1 \\

0 & 0 & 0 & a-6

\end{pmatrix}$

3行目と4行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix}

1 & -4 & 0 & 3 \\

0 & 1 & 2 & 0 \\

0 & 0 & 0 & a-6 \\

0 & 0 & 0 & -1

\end{pmatrix}$

もし $a-6 \neq 0$ ならば、3行目のスカラー倍で4行目を0にできるため、階数は3になります。

もし $a-6 = 0$ ならば、$a = 6$ であり、3行目は0になります。4行目は $-1$ なので、階数は3になります。

しかし、ここで3行目と4行目を入れ替えることで、

$\begin{pmatrix}

1 & -4 & 0 & 3 \\

0 & 1 & 2 & 0 \\

0 & 0 & 0 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

となるので、階数は3になります。

どの $a$ についても階数は3です。

3. 最終的な答え

(a) の行列の階数は 2 です。

(b) の行列の階数は 3 です。