$\frac{\sqrt[3]{3}}{1+\sqrt[3]{2}}$ を変形して、$\sqrt[3]{(あ)}+\sqrt[3]{(い)}+\sqrt[3]{(う)}=\sqrt[3]{(え)}+\sqrt[3]{(お)}$ の形にする問題です。ただし、(あ) < (い) < (う) とします。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt[3]{3}}{1+\sqrt[3]{2}}$ を変形して、$\sqrt[3]{(あ)}+\sqrt[3]{(い)}+\sqrt[3]{(う)}=\sqrt[3]{(え)}+\sqrt[3]{(お)}$ の形にする問題です。ただし、(あ) < (い) < (う) とします。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\sqrt[3]{3}}{1+\sqrt[3]{2}}$ の分母を有利化します。

$1+\sqrt[3]{2}$ に $1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ をかけると、$1 + 2 = 3$ になることを利用します。

分子と分母に $1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ をかけます。

$\frac{\sqrt[3]{3}}{1+\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{3}(1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})}{(1+\sqrt[3]{2})(1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})} = \frac{\sqrt[3]{3}(1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})}{1+2} = \frac{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{12}}{3}$

$=\sqrt[3]{\frac{3}{27}} - \sqrt[3]{\frac{6}{27}} + \sqrt[3]{\frac{12}{27}} = \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}}$

$=\sqrt[3]{\frac{1}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{9}} < \sqrt[3]{\frac{2}{9}} < \sqrt[3]{\frac{4}{9}}$ なので、

$\sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}}$

したがって、

(あ) = 1/9

(い) = -2/9

(う) = 4/9

ですが、(あ) < (い) < (う)の条件に合わないので、少し変形します。

$\sqrt[3]{\frac{3}{27}} - \sqrt[3]{\frac{6}{27}} + \sqrt[3]{\frac{12}{27}} = \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}}$

問題文の形 $\sqrt[3]{(え)}+\sqrt[3]{(お)}$ に近い形を探します.

$\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{12}$ を見ると、$(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{12})^3$

$= (\sqrt[3]{3})^3 - (\sqrt[3]{6})^3 + (\sqrt[3]{12})^3 + 3(\sqrt[3]{3})^2(-\sqrt[3]{6}) + \dots$

となりそうなので、この方向ではなさそうです。

$\frac{\sqrt[3]{3}}{1+\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}}$ なので、

$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}}$ となるような、$a,b$ を探します。

(あ) = -2/9, (い) = 1/9, (う) = 4/9

のとき、$\sqrt[3]{\frac{-2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{1}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}} = \frac{-\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{12}}{3}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}} = \sqrt[3]{\frac{c}{d}}+\sqrt[3]{\frac{e}{f}}$

$\frac{-\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{12}}{3} = \sqrt[3]{\frac{c}{d}}+\sqrt[3]{\frac{e}{f}}$

$\sqrt[3]{a} = \frac{-\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{12}}{3}$ の3乗をすると

$\sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}} = \sqrt[3]{\frac{1}{9}}+\sqrt[3]{\frac{x}{y}}$

最終的な形に持って行くのが難しいです。

3. 最終的な答え

(あ) = -2/9

(い) = 1/9

(う) = 4/9

これは条件(あ)<(い)<(う)を満たしません。

与式の形からすると、有理数が入るような簡単な変形はなさそうです。

問題不備の可能性もあります。

すみません、これ以上は解けませんでした。