問題9の(1)と(2), 問題10の(1)と(2), 問題11の(1)から(4)を解く。 問題9：与えられた式を括弧内の式で割った余りを求める。 問題10：因数定理を利用して与えられた式を因数分解する。 問題11：与えられた方程式を解く。

1. 問題の内容

問題9の(1)と(2), 問題10の(1)と(2), 問題11の(1)から(4)を解く。

問題9：与えられた式を括弧内の式で割った余りを求める。

問題10：因数定理を利用して与えられた式を因数分解する。

問題11：与えられた方程式を解く。

2. 解き方の手順

問題9：剰余の定理を利用する。

(1) $x^2+3x-5$ を $x-1$ で割った余りは、 $x=1$ を代入して $1^2 + 3(1) - 5 = 1 + 3 - 5 = -1$

(2) $x^3-2x^2+1$ を $x-3$ で割った余りは、 $x=3$ を代入して $3^3 - 2(3^2) + 1 = 27 - 18 + 1 = 10$

問題10：因数定理を利用して因数分解する。

(1) $x^3+7x^2-x-7$

$x^3+7x^2-x-7 = x^2(x+7) - (x+7) = (x^2-1)(x+7) = (x-1)(x+1)(x+7)$

(2) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

$P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ とおく。

$P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ より、$x-1$ を因数に持つ。

$P(x) = (x-1)(x^2 - 5x + 6) = (x-1)(x-2)(x-3)$

問題11：方程式を解く。

(1) $x^3 - 27 = 0$

$x^3 = 27 = 3^3$

$x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2+3x+9) = 0$

$x=3$ または $x^2+3x+9 = 0$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(9)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$

よって、$x=3, \frac{-3+3\sqrt{3}i}{2}, \frac{-3-3\sqrt{3}i}{2}$

(2) $x^4 + x^2 - 20 = 0$

$y=x^2$ とおくと、$y^2 + y - 20 = 0$

$(y+5)(y-4) = 0$

$y = -5, 4$

$x^2 = -5$ より $x = \pm \sqrt{5}i$

$x^2 = 4$ より $x = \pm 2$

よって、$x = \pm 2, \pm \sqrt{5}i$

(3) $x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$

$P(x) = x^3 - 2x^2 + x + 4$ とおく。

$P(-1) = -1 - 2 - 1 + 4 = 0$ より、$x+1$ を因数に持つ。

$P(x) = (x+1)(x^2 - 3x + 4) = 0$

$x=-1$ または $x^2 - 3x + 4 = 0$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{7}i}{2}$

よって、$x = -1, \frac{3+\sqrt{7}i}{2}, \frac{3-\sqrt{7}i}{2}$

(4) $2x^3 - 3x^2 - 5x + 6 = 0$

$P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 5x + 6$ とおく。

$P(1) = 2 - 3 - 5 + 6 = 0$ より、$x-1$ を因数に持つ。

$P(x) = (x-1)(2x^2 - x - 6) = (x-1)(2x+3)(x-2) = 0$

よって、$x=1, 2, -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

問題9：

(1) -1

(2) 10

問題10：

(1) $(x-1)(x+1)(x+7)$

(2) $(x-1)(x-2)(x-3)$

問題11：

(1) $x=3, \frac{-3+3\sqrt{3}i}{2}, \frac{-3-3\sqrt{3}i}{2}$

(2) $x = \pm 2, \pm \sqrt{5}i$

(3) $x = -1, \frac{3+\sqrt{7}i}{2}, \frac{3-\sqrt{7}i}{2}$

(4) $x = 1, 2, -\frac{3}{2}$