与えられた式 $a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc = a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 2abc$

次に、この式を $a$ について整理します。

$a^2b + a^2c + b^2a + c^2a + 2abc + b^2c + c^2b = (b+c)a^2 + (b^2+c^2+2bc)a + (b^2c+c^2b)$

$= (b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c)$

$(b+c)$ が共通因数であることに注目して、式を因数分解します。

$(b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c) = (b+c)(a^2 + (b+c)a + bc)$

さらに、$a^2 + (b+c)a + bc$ を因数分解します。

$a^2 + (b+c)a + bc = a^2 + ba + ca + bc = a(a+b) + c(a+b) = (a+b)(a+c)$

したがって、

$(b+c)(a^2 + (b+c)a + bc) = (b+c)(a+b)(a+c)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$