初項から第3項までの和が35、第3項から第5項までの和が140である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求めよ。

1. 問題の内容

初項から第3項までの和が35、第3項から第5項までの和が140である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とすると、初項から第3項までの和は $a + ar + ar^2 = 35$ と表せる。

同様に、第3項から第5項までの和は $ar^2 + ar^3 + ar^4 = 140$ と表せる。

それぞれの式を以下のように置く。

$a(1 + r + r^2) = 35$ ...(1)

$ar^2(1 + r + r^2) = 140$ ...(2)

(2)式を(1)式で割ると、

$\frac{ar^2(1 + r + r^2)}{a(1 + r + r^2)} = \frac{140}{35}$

$r^2 = 4$

したがって、$r = \pm 2$

(i) $r = 2$ のとき、(1)式に代入すると、

$a(1 + 2 + 4) = 35$

$7a = 35$

$a = 5$

(ii) $r = -2$ のとき、(1)式に代入すると、

$a(1 - 2 + 4) = 35$

$3a = 35$

$a = \frac{35}{3}$

3. 最終的な答え

(i) $a = 5$, $r = 2$

(ii) $a = \frac{35}{3}$, $r = -2$