第2項が6であり、初項から第3項までの和が21である等比数列の初項と公比を求めよ。

1. 問題の内容

第2項が6であり、初項から第3項までの和が21である等比数列の初項と公比を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とします。

* 第2項が6であることから、

$ar = 6$

となります。

* 初項から第3項までの和が21であることから、

$a + ar + ar^2 = 21$

となります。

$ar = 6$ を $a + ar + ar^2 = 21$ に代入すると、

$a + 6 + 6r = 21$

$a + 6r = 15$

$a = 15 - 6r$

これを $ar = 6$ に代入すると、

$(15 - 6r)r = 6$

$15r - 6r^2 = 6$

$6r^2 - 15r + 6 = 0$

$2r^2 - 5r + 2 = 0$

$(2r - 1)(r - 2) = 0$

したがって、$r = \frac{1}{2}$ または $r = 2$ となります。

* $r = \frac{1}{2}$ のとき、$a = 15 - 6(\frac{1}{2}) = 15 - 3 = 12$ となります。

* $r = 2$ のとき、$a = 15 - 6(2) = 15 - 12 = 3$ となります。

3. 最終的な答え

初項 $a = 12$、公比 $r = \frac{1}{2}$ または 初項 $a = 3$、公比 $r = 2$