複素数平面において、点 $z_0 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ を中心として、点 $z_1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ を時計回りに $\frac{3}{4}\pi$ だけ回転させたときの点の複素数 $z$ を求める。

1. 問題の内容

複素数平面において、点 $z_0 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ を中心として、点 $z_1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ を時計回りに $\frac{3}{4}\pi$ だけ回転させたときの点の複素数 $z$ を求める。

2. 解き方の手順

回転の中心である $z_0$ を原点に移すために、回転される点 $z_1$ から $z_0$ を引く。

$z_1 - z_0 = (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) - (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 0$

次に、原点周りに $\frac{3}{4}\pi$ 回転させる。時計回りなので、回転を表す複素数は $e^{-i\frac{3}{4}\pi} = \cos(-\frac{3}{4}\pi) + i\sin(-\frac{3}{4}\pi)$ となる。

$\cos(-\frac{3}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(-\frac{3}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、回転を表す複素数は $-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$ である。

回転後の点は、

$(z_1 - z_0)e^{-i\frac{3}{4}\pi} = 0 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i) = 0$

最後に、回転の中心 $z_0$ を元に戻すために、回転後の点に $z_0$ を足す。

$z = 0 + z_0 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$