集合 $A = \{1, 3, 6, -a^2 + 5a\}$、集合 $B = \{2, 4, 8, 2a+1, -a+7\}$ が与えられている。$A \cap B = \{3, 4\}$ となるような $a$ の値を求め、そのときの $A \cup B$ の要素の個数を求める。

1. 問題の内容

集合 $A = \{1, 3, 6, -a^2 + 5a\}$、集合 $B = \{2, 4, 8, 2a+1, -a+7\}$ が与えられている。$A \cap B = \{3, 4\}$ となるような $a$ の値を求め、そのときの $A \cup B$ の要素の個数を求める。

2. 解き方の手順

$A \cap B = \{3, 4\}$ より、$3 \in A$ かつ $3 \in B$、かつ $4 \in A$ かつ $4 \in B$ である。

まず、$3 \in B$ より、以下のいずれかが成り立つ。

$2a+1 = 3$ または $-a+7 = 3$

$2a+1 = 3$ のとき、$2a = 2$ より $a = 1$

$-a+7 = 3$ のとき、$-a = -4$ より $a = 4$

$4 \in B$ より、以下のいずれかが成り立つ。

$2a+1 = 4$ または $-a+7 = 4$

$2a+1 = 4$ のとき、$2a = 3$ より $a = \frac{3}{2}$

$-a+7 = 4$ のとき、$-a = -3$ より $a = 3$

$4 \in A$ より、以下のいずれかが成り立つ。

$1 = 4$（ありえない）

$3 = 4$（ありえない）

$6 = 4$（ありえない）

$-a^2 + 5a = 4$

$-a^2 + 5a - 4 = 0$

$a^2 - 5a + 4 = 0$

$(a-1)(a-4) = 0$

よって、$a = 1$ または $a = 4$

$a = 1$ のとき、

$A = \{1, 3, 6, -1^2 + 5(1)\} = \{1, 3, 6, 4\}$

$B = \{2, 4, 8, 2(1)+1, -1+7\} = \{2, 4, 8, 3, 6\}$

$A \cap B = \{3, 4, 6\} \ne \{3, 4\}$ より、$a = 1$ は不適。

$a = 4$ のとき、

$A = \{1, 3, 6, -4^2 + 5(4)\} = \{1, 3, 6, -16 + 20\} = \{1, 3, 6, 4\}$

$B = \{2, 4, 8, 2(4)+1, -4+7\} = \{2, 4, 8, 9, 3\}$

$A \cap B = \{3, 4\}$

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9\}$

したがって、$a=4$のとき、$A \cap B = \{3, 4\}$となり、このとき $A \cup B$ の要素の個数は7個である。

3. 最終的な答え

$a = 4$

$A \cup B$ の要素の個数は 7個