二次方程式 $x^2 + 5x + m = 0$ について、以下の条件を満たす定数 $m$ の値と2つの解をそれぞれ求めます。 (1) 1つの解が他の解の4倍である。 (2) 2つの解の差が1である。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 + 5x + m = 0$ について、以下の条件を満たす定数 $m$ の値と2つの解をそれぞれ求めます。

(1) 1つの解が他の解の4倍である。

(2) 2つの解の差が1である。

2. 解き方の手順

(1) 1つの解が他の解の4倍である場合

2つの解を $\alpha$ と $4\alpha$ とします。解と係数の関係より、

$$\alpha + 4\alpha = -5$$

$$5\alpha = -5$$

$$\alpha = -1$$

よって、2つの解は $-1$ と $-4$ です。

また、

$$\alpha(4\alpha) = m$$

$$(-1)(-4) = m$$

$$m = 4$$

(2) 2つの解の差が1である場合

2つの解を $\beta$ と $\beta + 1$ とします。解と係数の関係より、

$$\beta + (\beta + 1) = -5$$

$$2\beta + 1 = -5$$

$$2\beta = -6$$

$$\beta = -3$$

よって、2つの解は $-3$ と $-2$ です。

また、

$$\beta(\beta+1) = m$$

$$(-3)(-2) = m$$

$$m = 6$$

3. 最終的な答え

(1) $m = 4$, 2つの解は $-1, -4$

(2) $m = 6$, 2つの解は $-3, -2$