与えられた4つの関数について、それぞれの逆関数を求める問題です。ただし、逆関数の定義域は求めなくてよいとのことです。 1. $f(x) = \frac{3x+2}{2x+1}, (x > -\frac{1}{2})$ 2. $f(x) = \frac{2x+3}{x+1}, (x > -1)$ 3. $f(x) = e^{x^2} + 1, (x \ge 0)$ 4. $f(x) = 1 + \log x^2, (x > 0)$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、それぞれの逆関数を求める問題です。ただし、逆関数の定義域は求めなくてよいとのことです。

1. $f(x) = \frac{3x+2}{2x+1}, (x > -\frac{1}{2})$

2. $f(x) = \frac{2x+3}{x+1}, (x > -1)$

3. $f(x) = e^{x^2} + 1, (x \ge 0)$

4. $f(x) = 1 + \log x^2, (x > 0)$

2. 解き方の手順

各関数の逆関数を求めるには、まず $y = f(x)$ とおき、$x$ について解きます。得られた式 $x = g(y)$ に対して、$x$ と $y$ を入れ替えることで、逆関数 $f^{-1}(x) = g(x)$ が得られます。

1. $y = \frac{3x+2}{2x+1}$ とおく。両辺に $2x+1$ を掛けると $y(2x+1) = 3x+2$。展開して $2xy + y = 3x+2$。 $x$ について整理すると $2xy - 3x = 2 - y$。よって $x(2y-3) = 2-y$。したがって $x = \frac{2-y}{2y-3}$。$x$ と $y$ を入れ替えて $f^{-1}(x) = \frac{2-x}{2x-3}$。

2. $y = \frac{2x+3}{x+1}$ とおく。両辺に $x+1$ を掛けると $y(x+1) = 2x+3$。展開して $xy + y = 2x+3$。 $x$ について整理すると $xy - 2x = 3 - y$。よって $x(y-2) = 3-y$。したがって $x = \frac{3-y}{y-2}$。$x$ と $y$ を入れ替えて $f^{-1}(x) = \frac{3-x}{x-2}$。

3. $y = e^{x^2} + 1$ とおく。$e^{x^2} = y - 1$。両辺の自然対数をとると $x^2 = \ln(y-1)$。$x \ge 0$ より $x = \sqrt{\ln(y-1)}$。$x$ と $y$ を入れ替えて $f^{-1}(x) = \sqrt{\ln(x-1)}$。

4. $y = 1 + \log x^2$ とおく。$\log x^2 = y - 1$。したがって $x^2 = 10^{y-1}$。$x > 0$ より $x = \sqrt{10^{y-1}} = 10^{\frac{y-1}{2}}$。$x$ と $y$ を入れ替えて $f^{-1}(x) = 10^{\frac{x-1}{2}}$。

3. 最終的な答え

1. $f^{-1}(x) = \frac{2-x}{2x-3}$

2. $f^{-1}(x) = \frac{3-x}{x-2}$

3. $f^{-1}(x) = \sqrt{\ln(x-1)}$

4. $f^{-1}(x) = 10^{\frac{x-1}{2}}$