3つの不等式を解く問題です。 (1) $\sqrt{2}x + 1 > 5$ (2) $2x \leq \sqrt{3}(x+1)$ (3) $\sqrt{3}x - 1 < \sqrt{5}(x - \sqrt{3})$

1. 問題の内容

3つの不等式を解く問題です。

(1) $\sqrt{2}x + 1 > 5$

(2) $2x \leq \sqrt{3}(x+1)$

(3) $\sqrt{3}x - 1 < \sqrt{5}(x - \sqrt{3})$

2. 解き方の手順

(1)

まず、不等式の両辺から1を引きます。

$\sqrt{2}x > 4$

次に、両辺を$\sqrt{2}$で割ります。

$x > \frac{4}{\sqrt{2}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{2}$を掛けます。

$x > \frac{4\sqrt{2}}{2}$

$x > 2\sqrt{2}$

(2)

不等式を展開します。

$2x \leq \sqrt{3}x + \sqrt{3}$

次に、$x$を含む項を左辺に、定数項を右辺に移行します。

$2x - \sqrt{3}x \leq \sqrt{3}$

$x$で括ります。

$(2 - \sqrt{3})x \leq \sqrt{3}$

両辺を$(2 - \sqrt{3})$で割ります。$2 - \sqrt{3} > 0$なので不等号の向きは変わりません。

$x \leq \frac{\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$(2 + \sqrt{3})$を掛けます。

$x \leq \frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}$

$x \leq \frac{2\sqrt{3} + 3}{4 - 3}$

$x \leq 2\sqrt{3} + 3$

(3)

不等式を展開します。

$\sqrt{3}x - 1 < \sqrt{5}x - \sqrt{15}$

次に、$x$を含む項を左辺に、定数項を右辺に移行します。

$\sqrt{3}x - \sqrt{5}x < 1 - \sqrt{15}$

$x$で括ります。

$(\sqrt{3} - \sqrt{5})x < 1 - \sqrt{15}$

両辺を$(\sqrt{3} - \sqrt{5})$で割ります。$\sqrt{3} - \sqrt{5} < 0$なので不等号の向きが変わります。

$x > \frac{1 - \sqrt{15}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$(\sqrt{3} + \sqrt{5})$を掛けます。

$x > \frac{(1 - \sqrt{15})(\sqrt{3} + \sqrt{5})}{(\sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{3} + \sqrt{5})}$

$x > \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{45} - \sqrt{75}}{3 - 5}$

$x > \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 5\sqrt{3}}{-2}$

$x > \frac{-4\sqrt{3} - 2\sqrt{5}}{-2}$

$x > 2\sqrt{3} + \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $x > 2\sqrt{2}$

(2) $x \leq 3 + 2\sqrt{3}$

(3) $x > 2\sqrt{3} + \sqrt{5}$