3つの不等式を解く問題です。 (1) $\sqrt{2}x + 1 > 5$ (2) $2x \leq \sqrt{3}(x+1)$ (3) $\sqrt{3}x - 1 < \sqrt{5}(x - \sqrt{3})$

代数学不等式式の計算平方根
2025/5/27

1. 問題の内容

3つの不等式を解く問題です。
(1) 2x+1>5\sqrt{2}x + 1 > 5
(2) 2x3(x+1)2x \leq \sqrt{3}(x+1)
(3) 3x1<5(x3)\sqrt{3}x - 1 < \sqrt{5}(x - \sqrt{3})

2. 解き方の手順

(1)
まず、不等式の両辺から1を引きます。
2x>4\sqrt{2}x > 4
次に、両辺を2\sqrt{2}で割ります。
x>42x > \frac{4}{\sqrt{2}}
分母を有理化するために、分子と分母に2\sqrt{2}を掛けます。
x>422x > \frac{4\sqrt{2}}{2}
x>22x > 2\sqrt{2}
(2)
不等式を展開します。
2x3x+32x \leq \sqrt{3}x + \sqrt{3}
次に、xxを含む項を左辺に、定数項を右辺に移行します。
2x3x32x - \sqrt{3}x \leq \sqrt{3}
xxで括ります。
(23)x3(2 - \sqrt{3})x \leq \sqrt{3}
両辺を(23)(2 - \sqrt{3})で割ります。23>02 - \sqrt{3} > 0なので不等号の向きは変わりません。
x323x \leq \frac{\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}
分母を有理化するために、分子と分母に(2+3)(2 + \sqrt{3})を掛けます。
x3(2+3)(23)(2+3)x \leq \frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}
x23+343x \leq \frac{2\sqrt{3} + 3}{4 - 3}
x23+3x \leq 2\sqrt{3} + 3
(3)
不等式を展開します。
3x1<5x15\sqrt{3}x - 1 < \sqrt{5}x - \sqrt{15}
次に、xxを含む項を左辺に、定数項を右辺に移行します。
3x5x<115\sqrt{3}x - \sqrt{5}x < 1 - \sqrt{15}
xxで括ります。
(35)x<115(\sqrt{3} - \sqrt{5})x < 1 - \sqrt{15}
両辺を(35)(\sqrt{3} - \sqrt{5})で割ります。35<0\sqrt{3} - \sqrt{5} < 0なので不等号の向きが変わります。
x>11535x > \frac{1 - \sqrt{15}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}}
分母を有理化するために、分子と分母に(3+5)(\sqrt{3} + \sqrt{5})を掛けます。
x>(115)(3+5)(35)(3+5)x > \frac{(1 - \sqrt{15})(\sqrt{3} + \sqrt{5})}{(\sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{3} + \sqrt{5})}
x>3+5457535x > \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{45} - \sqrt{75}}{3 - 5}
x>3+535532x > \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 5\sqrt{3}}{-2}
x>43252x > \frac{-4\sqrt{3} - 2\sqrt{5}}{-2}
x>23+5x > 2\sqrt{3} + \sqrt{5}

3. 最終的な答え

(1) x>22x > 2\sqrt{2}
(2) x3+23x \leq 3 + 2\sqrt{3}
(3) x>23+5x > 2\sqrt{3} + \sqrt{5}

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