与えられた2次関数 $f(x) = x^2 + 8x - 4a + 5$ について、以下の問題を解く。 (i) $f(x)$ の最小値が $-1$ であるとき、$a$ の値を求める。 (ii) 放物線 $y = f(x)$ が $x$ 軸と異なる2点を共有するような $a$ の値の範囲を求める。 (iii) $-6 \le x \le -1$ において、放物線 $y = f(x)$ が $x$ 軸と異なる2点を共有するような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $f(x) = x^2 + 8x - 4a + 5$ について、以下の問題を解く。

(i) $f(x)$ の最小値が $-1$ であるとき、$a$ の値を求める。

(ii) 放物線 $y = f(x)$ が $x$ 軸と異なる2点を共有するような $a$ の値の範囲を求める。

(iii) $-6 \le x \le -1$ において、放物線 $y = f(x)$ が $x$ 軸と異なる2点を共有するような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(i) $f(x)$ を平方完成して最小値を求める。

$f(x) = x^2 + 8x - 4a + 5 = (x + 4)^2 - 16 - 4a + 5 = (x + 4)^2 - 4a - 11$

最小値は $-4a - 11$ であるから、$-4a - 11 = -1$ となる。

$-4a = 10$

$a = -\frac{5}{2}$

(ii) 放物線 $y = f(x)$ が $x$ 軸と異なる2点で交わる条件は、判別式 $D > 0$ である。

$f(x) = x^2 + 8x - 4a + 5$ の判別式 $D$ は、

$D = 8^2 - 4(1)(-4a + 5) = 64 + 16a - 20 = 16a + 44$

$D > 0$ より、

$16a + 44 > 0$

$16a > -44$

$a > -\frac{44}{16} = -\frac{11}{4}$

(iii) $-6 \le x \le -1$ において、$y = f(x)$ が $x$ 軸と異なる2点で交わる条件を求める。

$f(x) = x^2 + 8x - 4a + 5$

$f(-1) = (-1)^2 + 8(-1) - 4a + 5 = 1 - 8 - 4a + 5 = -2 - 4a$

$f(-6) = (-6)^2 + 8(-6) - 4a + 5 = 36 - 48 - 4a + 5 = -7 - 4a$

軸は $x = -4$ であり、$-6 \le x \le -1$ に含まれる。

したがって、$f(-4) < 0$ かつ $f(-1) > 0$ または $f(-6) > 0$ であればよい。

$f(-4) = (-4)^2 + 8(-4) - 4a + 5 = 16 - 32 - 4a + 5 = -11 - 4a$

$-11 - 4a < 0$ より $-4a < 11$, $a > -\frac{11}{4}$

上に凸なので、 $-6 \le x \le -1$ の範囲で $x$ 軸と異なる二点で交わるためには、$f(-1)$ と $f(-6)$ の少なくともどちらかが正である必要がある。

$f(-1) = -2 - 4a > 0$ より $-4a > 2$, $a < -\frac{1}{2}$

$f(-6) = -7 - 4a > 0$ より $-4a > 7$, $a < -\frac{7}{4}$

軸の位置を考慮すると、以下の条件が必要となる。

1) $f(-1) > 0$ かつ $f(-6) > 0$

$a < -\frac{1}{2}$ かつ $a < -\frac{7}{4}$　よって $a < -\frac{7}{4}$

2) $f(-1) > 0$ かつ $f(-6) < 0$

$a < -\frac{1}{2}$ かつ $a > -\frac{7}{4}$　よって $-\frac{7}{4} < a < -\frac{1}{2}$

3) $f(-1) < 0$ かつ $f(-6) > 0$

$a > -\frac{1}{2}$ かつ $a < -\frac{7}{4}$ これはありえない

両端の値は $0$ であってはならない。

頂点の $y$ 座標が負であり、$f(-1)$ または $f(-6)$ が正であればよい。

$-4a - 11 < 0$ より $a > -\frac{11}{4}$

$a$ の範囲は $-\frac{11}{4} < a < -\frac{1}{2}$ または $a < -\frac{7}{4}$。

まとめると、$-\frac{11}{4} < a < -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(i) $a = -\frac{5}{2}$

(ii) $a > -\frac{11}{4}$

(iii) $-\frac{11}{4} < a < -\frac{1}{2}$