(1) $2ax^2 - 8a$ を因数分解する。 (4) $4x^2 - y^2 + 6y - 9$ を因数分解する。 (7) $x^3 + x^2y - x^2 - y$ を因数分解する。

1. 問題の内容

(1) $2ax^2 - 8a$ を因数分解する。

(4) $4x^2 - y^2 + 6y - 9$ を因数分解する。

(7) $x^3 + x^2y - x^2 - y$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、共通因数で括り出します。

$2ax^2 - 8a = 2a(x^2 - 4)$

次に、$x^2 - 4$ を因数分解します。これは差の平方の形なので、$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ となります。

したがって、$2ax^2 - 8a = 2a(x - 2)(x + 2)$ となります。

(4)

$4x^2 - y^2 + 6y - 9$

まず、$4x^2$ を除いた部分を整理します。$-y^2 + 6y - 9 = -(y^2 - 6y + 9) = -(y - 3)^2$ となります。

したがって、$4x^2 - y^2 + 6y - 9 = 4x^2 - (y - 3)^2 = (2x)^2 - (y - 3)^2$ となります。

これは差の平方の形なので、$(2x)^2 - (y - 3)^2 = (2x - (y - 3))(2x + (y - 3))$ となります。

したがって、$4x^2 - y^2 + 6y - 9 = (2x - y + 3)(2x + y - 3)$ となります。

(7)

$x^3 + x^2y - x^2 - y$

まず、共通因数で括り出します。$x^2(x + y) - (x^2 + y)$

$=x^2(x+y) - 1(x^2+y)$.

ここで、順番を変えて、$x^3 - x^2 + x^2y - y = x^2(x - 1) + y(x^2 - 1)$ とします。

すると、$x^2(x - 1) + y(x - 1)(x + 1) = (x - 1)(x^2 + y(x + 1)) = (x - 1)(x^2 + xy + y)$ となります。

したがって、$x^3 + x^2y - x^2 - y = (x - 1)(x^2 + xy + y)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $2a(x - 2)(x + 2)$

(4) $(2x - y + 3)(2x + y - 3)$

(7) $(x - 1)(x^2 + xy + y)$