与えられた式 $\frac{5x-12}{(2x+3)(x-5)} = \frac{a}{2x+3} + \frac{b}{x-5}$ を満たす $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式

$\frac{5x-12}{(2x+3)(x-5)} = \frac{a}{2x+3} + \frac{b}{x-5}$

を満たす $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺を通分します。

$\frac{a}{2x+3} + \frac{b}{x-5} = \frac{a(x-5) + b(2x+3)}{(2x+3)(x-5)}$

したがって、以下の等式が成り立ちます。

$\frac{5x-12}{(2x+3)(x-5)} = \frac{a(x-5) + b(2x+3)}{(2x+3)(x-5)}$

分母が等しいので、分子も等しくなります。

$5x - 12 = a(x-5) + b(2x+3)$

この式を展開すると、

$5x - 12 = ax - 5a + 2bx + 3b$

$5x - 12 = (a+2b)x + (-5a+3b)$

この等式が成り立つためには、各項の係数が等しくなければなりません。つまり、

$a+2b = 5$

$-5a+3b = -12$

この連立方程式を解きます。

一つ目の式を5倍すると、$5a+10b = 25$。

これと二つ目の式を足し合わせると、

$5a+10b + (-5a+3b) = 25 + (-12)$

$13b = 13$

$b = 1$

$b=1$ を一つ目の式に代入すると、

$a+2(1) = 5$

$a = 3$

3. 最終的な答え

$a=3$

$b=1$