与えられた式 $x^2 + xy - 2y^2 + 3x + 3y + 2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + xy - 2y^2 + 3x + 3y + 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、2次式 $x^2 + xy - 2y^2$ を因数分解します。これは $(x + ay)(x + by)$ の形になるはずです。

$ab = -2$ かつ $a + b = 1$ となる $a$ と $b$ を探します。$a = 2$, $b = -1$ が条件を満たします。

したがって、$x^2 + xy - 2y^2 = (x + 2y)(x - y)$ となります。

次に、与えられた式全体を $(x + 2y + p)(x - y + q)$ の形に因数分解できると仮定します。ここで、$p$ と $q$ は定数です。

この式を展開すると

$$(x + 2y + p)(x - y + q) = x^2 + xy - 2y^2 + (p+q)x + (2q-p)y + pq$$

となります。

与えられた式と比較すると、次の連立方程式が得られます。

$$p + q = 3$$

$$2q - p = 3$$

$$pq = 2$$

最初の2つの式を解きます。$p + q = 3$ より $p = 3 - q$ です。

これを $2q - p = 3$ に代入すると、$2q - (3 - q) = 3$, つまり $3q - 3 = 3$, したがって $3q = 6$, よって $q = 2$ となります。

次に、$p = 3 - q = 3 - 2 = 1$ となります。

$p=1$ と $q=2$ を $pq = 2$ に代入すると、$1 \cdot 2 = 2$ となり、この条件も満たします。

したがって、与えられた式は $(x + 2y + 1)(x - y + 2)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x + 2y + 1)(x - y + 2)$