与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -2 \end{bmatrix}$ を簡約化（行基本変形）し、簡約化された行列を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -2 \end{bmatrix}$ を簡約化（行基本変形）し、簡約化された行列を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列 $A$ を書き出します。

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -2 \end{bmatrix}$

次に、行基本変形を用いて簡約化を行います。

ステップ1: 2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 2-2(1) & 1-2(-1) & 2-2(-2) \\ 3 & -1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 6 \\ 3 & -1 & -2 \end{bmatrix}$

ステップ2: 3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 6 \\ 3-3(1) & -1-3(-1) & -2-3(-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix}$

ステップ3: 2行目を3で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix}$

ステップ4: 3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2-2(1) & 4-2(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

ステップ5: 1行目に2行目を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1+1 & -2+2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

簡約化された行列は以下のようになります。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$