与えられた2つの二次関数の、指定された範囲における最大値と最小値を、選択肢の中からそれぞれ一つずつ選ぶ問題です。 (1) $y = \frac{1}{4}x^2 + x - 1$ ($-3 \le x \le 0$) (2) $y = -x^2 + 5x - 3$ ($0 \le x \le 2$)

1. 問題の内容

与えられた2つの二次関数の、指定された範囲における最大値と最小値を、選択肢の中からそれぞれ一つずつ選ぶ問題です。

(1) $y = \frac{1}{4}x^2 + x - 1$ ($-3 \le x \le 0$)

(2) $y = -x^2 + 5x - 3$ ($0 \le x \le 2$)

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{4}x^2 + x - 1$

まず、平方完成を行います。

$y = \frac{1}{4}(x^2 + 4x) - 1$

$y = \frac{1}{4}(x^2 + 4x + 4 - 4) - 1$

$y = \frac{1}{4}(x + 2)^2 - 1 - 1$

$y = \frac{1}{4}(x + 2)^2 - 2$

この関数は、下に凸の放物線であり、頂点は$(-2, -2)$です。定義域は$-3 \le x \le 0$です。

頂点のx座標$x = -2$は定義域に含まれます。

$x = -2$のとき、$y = -2$。

次に、定義域の端点での値を求めます。

$x = -3$のとき、$y = \frac{1}{4}(-3 + 2)^2 - 2 = \frac{1}{4} - 2 = -\frac{7}{4} = -1.75$。

$x = 0$のとき、$y = \frac{1}{4}(0 + 2)^2 - 2 = \frac{1}{4}(4) - 2 = 1 - 2 = -1$。

したがって、最大値は$-1$ (選択肢6)、最小値は$-2$ (選択肢7) です。

(2) $y = -x^2 + 5x - 3$

まず、平方完成を行います。

$y = -(x^2 - 5x) - 3$

$y = -(x^2 - 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4}) - 3$

$y = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4} - 3$

$y = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4} - \frac{12}{4}$

$y = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{13}{4}$

この関数は、上に凸の放物線であり、頂点は$(\frac{5}{2}, \frac{13}{4})$です。定義域は$0 \le x \le 2$です。

頂点のx座標$x = \frac{5}{2} = 2.5$は定義域に含まれません。

定義域の端点での値を求めます。

$x = 0$のとき、$y = -3$。

$x = 2$のとき、$y = -(2)^2 + 5(2) - 3 = -4 + 10 - 3 = 3$。

したがって、最大値は$3$ (選択肢3)、最小値は$-3$ (選択肢8) です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値：6, 最小値：7

(2) 最大値：3, 最小値：8