与えられた4つの2次式を平方完成せよ。 (1) $x^2 - 4x + 5$ (2) $2x^2 + 8x + 7$ (3) $x^2 - x - 2$ (4) $2x^2 + 6x - 1$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次式を平方完成せよ。

(1) $x^2 - 4x + 5$

(2) $2x^2 + 8x + 7$

(3) $x^2 - x - 2$

(4) $2x^2 + 6x - 1$

2. 解き方の手順

平方完成とは、$ax^2+bx+c$ を $a(x-p)^2 + q$ の形に変形することです。

(1) $x^2 - 4x + 5$

$x^2 - 4x$ の部分を $(x-a)^2$ の形にすることを考えます。

$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$ なので、

$x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$

したがって、$x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 - 4 + 5 = (x-2)^2 + 1$

(2) $2x^2 + 8x + 7$

まず、$x^2$ の係数で括ります。

$2(x^2 + 4x) + 7$

$x^2 + 4x$ の部分を $(x-a)^2$ の形にすることを考えます。

$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$ なので、$x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4$

したがって、$2(x^2 + 4x) + 7 = 2((x+2)^2 - 4) + 7 = 2(x+2)^2 - 8 + 7 = 2(x+2)^2 - 1$

(3) $x^2 - x - 2$

$x^2 - x$ の部分を $(x-a)^2$ の形にすることを考えます。

$(x - \frac{1}{2})^2 = x^2 - x + \frac{1}{4}$ なので、$x^2 - x = (x-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

したがって、$x^2 - x - 2 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 2 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - \frac{8}{4} = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}$

(4) $2x^2 + 6x - 1$

まず、$x^2$ の係数で括ります。

$2(x^2 + 3x) - 1$

$x^2 + 3x$ の部分を $(x-a)^2$ の形にすることを考えます。

$(x + \frac{3}{2})^2 = x^2 + 3x + \frac{9}{4}$ なので、$x^2 + 3x = (x+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$

したがって、$2(x^2 + 3x) - 1 = 2((x+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) - 1 = 2(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} - 1 = 2(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} - \frac{2}{2} = 2(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{11}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $(x-2)^2 + 1$

(2) $2(x+2)^2 - 1$

(3) $(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}$

(4) $2(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{11}{2}$