58aと58bの問題は、a, b が実数であるという条件のもとで、与えられた条件の否定を求める問題です。59aと59bの問題は、与えられた命題の逆、裏、対偶を述べ、それらの真偽を調べる問題です。

1. 問題の内容

58aと58bの問題は、a, b が実数であるという条件のもとで、与えられた条件の否定を求める問題です。59aと59bの問題は、与えられた命題の逆、裏、対偶を述べ、それらの真偽を調べる問題です。

2. 解き方の手順

58a, 58b：

(1) 「かつ」の否定は「または」、「または」の否定は「かつ」を使う。

(2) 不等号の否定を正しく行う（$\le$ の否定は $>$、$<$ の否定は $\ge$、$>$ の否定は $\le$、$\ge$ の否定は $<$）。

(3) 等号の否定を正しく行う (= の否定は $\neq$)

59a, 59b:

(1) 命題 $p \implies q$ に対して、

* 逆: $q \implies p$

* 裏: $\neg p \implies \neg q$

* 対偶: $\neg q \implies \neg p$

ここで、$\neg p$ は $p$ の否定を表します。

(2) それぞれの真偽を調べる。真である場合は真、偽である場合は偽と答えます。

**58a**

(1) $a \le 0$ かつ $b \le 0$ の否定は、$a > 0$ または $b > 0$

(2) $a > 1$ または $b > -2$ の否定は、$a \le 1$ かつ $b \le -2$

**58b**

(1) $a = -2$ または $b = -5$ の否定は、$a \neq -2$ かつ $b \neq -5$

(2) $a \ge -1$ かつ $b < 3$ の否定は、$a < -1$ または $b \ge 3$

**59a**

命題: $x > 3 \implies x > 1$

* 逆: $x > 1 \implies x > 3$ (偽。例: $x=2$)

* 裏: $x \le 3 \implies x \le 1$ (偽。例: $x=2$)

* 対偶: $x \le 1 \implies x \le 3$ (真)

**59b**

命題: $x \le 4 \implies x < 1$

* 逆: $x < 1 \implies x \le 4$ (真)

* 裏: $x > 4 \implies x > 1$ (真)

* 対偶: $x \ge 1 \implies x > 4$ (偽。例: $x=1$)

3. 最終的な答え

**58a**

(1) $a > 0$ または $b > 0$

(2) $a \le 1$ かつ $b \le -2$

**58b**

(1) $a \neq -2$ かつ $b \neq -5$

(2) $a < -1$ または $b \ge 3$

**59a**

逆: $x > 1 \implies x > 3$ (偽)

裏: $x \le 3 \implies x \le 1$ (偽)

対偶: $x \le 1 \implies x \le 3$ (真)

**59b**

逆: $x < 1 \implies x \le 4$ (真)

裏: $x > 4 \implies x > 1$ (真)

対偶: $x \ge 1 \implies x > 4$ (偽)