与えられた2つの二次関数の指定された範囲における最大値と最小値を、選択肢の中からそれぞれ選びます。 (1) $y = \frac{1}{4}x^2 + x - 1$ （$-3 \le x \le 0$） (2) $y = -x^2 + 5x - 3$ （$0 \le x \le 2$）

1. 問題の内容

与えられた2つの二次関数の指定された範囲における最大値と最小値を、選択肢の中からそれぞれ選びます。

(1) $y = \frac{1}{4}x^2 + x - 1$ （$-3 \le x \le 0$）

(2) $y = -x^2 + 5x - 3$ （$0 \le x \le 2$）

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{4}x^2 + x - 1$ について

まず、この関数を平方完成します。

$y = \frac{1}{4}(x^2 + 4x) - 1$

$y = \frac{1}{4}(x^2 + 4x + 4 - 4) - 1$

$y = \frac{1}{4}(x + 2)^2 - 1 - 1$

$y = \frac{1}{4}(x + 2)^2 - 2$

この関数の頂点は $(-2, -2)$ です。範囲 $-3 \le x \le 0$ 内に頂点が含まれています。

したがって、頂点で最小値をとります。最小値は $y = -2$ （選択肢7）。

次に、範囲の端の値を調べます。

$x = -3$ のとき、

$y = \frac{1}{4}(-3 + 2)^2 - 2 = \frac{1}{4}(-1)^2 - 2 = \frac{1}{4} - 2 = -\frac{7}{4} = -1.75$

$x = 0$ のとき、

$y = \frac{1}{4}(0 + 2)^2 - 2 = \frac{1}{4}(4) - 2 = 1 - 2 = -1$

よって、最大値は $x=0$ のときの $y = -1$ （選択肢6）です。

(2) $y = -x^2 + 5x - 3$ について

まず、この関数を平方完成します。

$y = -(x^2 - 5x) - 3$

$y = -(x^2 - 5x + (\frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2) - 3$

$y = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4} - 3$

$y = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4} - \frac{12}{4}$

$y = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{13}{4}$

この関数の頂点は $(\frac{5}{2}, \frac{13}{4})$ です。$\frac{5}{2} = 2.5$ は、範囲 $0 \le x \le 2$ の外にあります。

上に凸のグラフであるため、範囲内で $x=2$ のときに最大値をとります。

$x = 2$ のとき、

$y = -2^2 + 5(2) - 3 = -4 + 10 - 3 = 3$

よって、最大値は $3$ （選択肢3）です。

次に、範囲の端の値を調べます。

$x = 0$ のとき、

$y = -0^2 + 5(0) - 3 = -3$

$x = 2$ のとき、$y=3$ であることが既にわかっています。

したがって、最小値は $x=0$ のときの $y = -3$ （選択肢8）です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: -1、最小値: -2

(2) 最大値: 3、最小値: -3