位数6の二面体群 $D_3 = \{e, r, r^2, s, rs, r^2s\}$ の部分群をすべて求める問題です。ただし、$e$ は単位元、$r$ は3回回転、$s$ は反転を表します。自明な部分群（$\{e\}$ と $D_3$ 自身）を含めて6個あるとされています。

代数学群論二面体群部分群ラグランジュの定理群の位数

2025/5/27

1. 問題の内容

位数6の二面体群

D_3 = \{e, r, r^2, s, rs, r^2s\}

の部分群をすべて求める問題です。ただし、

e

は単位元、

r

は3回回転、

s

は反転を表します。自明な部分群（

\{e\}

と

D_3

自身）を含めて6個あるとされています。

2. 解き方の手順

部分群を求めるには、部分群の位数が群の位数の約数になるというラグランジュの定理を利用します。

D_3

の位数は6なので、部分群の位数は1, 2, 3, 6 のいずれかになります。

* **位数1の部分群:** これは単位元のみからなる自明な部分群

\{e\}

です。

* **位数2の部分群:** 位数2の群は巡回群であり、位数が2の元を生成元とします。

D_3

には位数2の元が3つあります：

s, rs, r^2s

。したがって、位数2の部分群は

\{e, s\}

\{e, rs\}

\{e, r^2s\}

の3つです。

* **位数3の部分群:** 位数3の群も巡回群であり、位数が3の元を生成元とします。

D_3

には位数3の元が2つあります：

r, r^2

。したがって、位数3の部分群は

\{e, r, r^2\}

の1つです。

* **位数6の部分群:** これは

D_3

自身です。

\{e, r, r^2, s, rs, r^2s\}

上記で求めた部分群をすべて合わせると、以下の6個になります。

3. 最終的な答え

D_3

の部分群は以下の通りです。

1. $\{e\}$

2. $\{e, s\}$

3. $\{e, rs\}$

4. $\{e, r^2s\}$

5. $\{e, r, r^2\}$

6. $\{e, r, r^2, s, rs, r^2s\} = D_3$

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1. 問題の内容

2. 解き方の手順

3. 最終的な答え

1. $\{e\}$

2. $\{e, s\}$

3. $\{e, rs\}$

4. $\{e, r^2s\}$

5. $\{e, r, r^2\}$

6. $\{e, r, r^2, s, rs, r^2s\} = D_3$

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