数列 $1 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + \cdots + (2n-1)(n+1)$ を $\Sigma$ 記号を用いて表し、その和を求める。

1. 問題の内容

数列 $1 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + \cdots + (2n-1)(n+1)$ を $\Sigma$ 記号を用いて表し、その和を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の一般項を求める。数列の各項は $(2k-1)(k+1)$ の形で表されることがわかる。ここで、$k$ は 1 から $n$ までの整数である。

したがって、与えられた数列の和は $\Sigma$ 記号を用いて次のように表せる。

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(k+1)$

次に、この和を計算する。

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 + 2k - k - 1) = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 + k - 1)$

$\displaystyle = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1$

ここで、次の公式を用いる。

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入すると、

$\displaystyle 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} - n$

$\displaystyle = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2} - n$

$\displaystyle = \frac{2n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) - 6n}{6}$

$\displaystyle = \frac{n}{6} [2(n+1)(2n+1) + 3(n+1) - 6]$

$\displaystyle = \frac{n}{6} [2(2n^2 + 3n + 1) + 3n + 3 - 6]$

$\displaystyle = \frac{n}{6} [4n^2 + 6n + 2 + 3n - 3]$

$\displaystyle = \frac{n}{6} [4n^2 + 9n - 1]$

$\displaystyle = \frac{n(4n^2 + 9n - 1)}{6}$

3. 最終的な答え

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(k+1) = \frac{n(4n^2 + 9n - 1)}{6}$