2次方程式 $x^2 - 2ax + a^2 + a - 8 = 0$ が解 $x=2$ を持つとき、定数 $a$ の値を求め、もう一つの解を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2ax + a^2 + a - 8 = 0$ が解 $x=2$ を持つとき、定数 $a$ の値を求め、もう一つの解を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x=2$ を2次方程式に代入します。

$$(2)^2 - 2a(2) + a^2 + a - 8 = 0$$

$$4 - 4a + a^2 + a - 8 = 0$$

$$a^2 - 3a - 4 = 0$$

この $a$ に関する2次方程式を解きます。因数分解すると

$$(a - 4)(a + 1) = 0$$

したがって、$a = 4$ または $a = -1$ です。

次に、$a$ の値それぞれについて、もう一つの解を求めます。

(1) $a = 4$ のとき、2次方程式は

$$x^2 - 2(4)x + (4)^2 + 4 - 8 = 0$$

$$x^2 - 8x + 16 + 4 - 8 = 0$$

$$x^2 - 8x + 12 = 0$$

この2次方程式を解きます。因数分解すると

$$(x - 2)(x - 6) = 0$$

したがって、$x = 2$ または $x = 6$ となります。

$x=2$ は既知の解なので、もう一つの解は $x = 6$ です。

(2) $a = -1$ のとき、2次方程式は

$$x^2 - 2(-1)x + (-1)^2 + (-1) - 8 = 0$$

$$x^2 + 2x + 1 - 1 - 8 = 0$$

$$x^2 + 2x - 8 = 0$$

この2次方程式を解きます。因数分解すると

$$(x - 2)(x + 4) = 0$$

したがって、$x = 2$ または $x = -4$ となります。

$x=2$ は既知の解なので、もう一つの解は $x = -4$ です。

3. 最終的な答え

$a = 4$ のとき、他の解は $x=6$。

$a = -1$ のとき、他の解は $x=-4$。