(5) 2つの2次関数 $y = 2x^2 + 3x - 3$ (①)と $y = 2x^2 - 4x$ (②) があります。①のグラフをx軸方向に $a$, y軸方向に $b$ 平行移動したところ、②のグラフと重なりました。このとき、$a, b$ の値を求めます。 (6) 放物線 $y = -3x^2 + x + 1$ をy軸に関して対称移動した放物線の式を求めます。

1. 問題の内容

(5) 2つの2次関数 $y = 2x^2 + 3x - 3$ (①)と $y = 2x^2 - 4x$ (②) があります。①のグラフをx軸方向に $a$, y軸方向に $b$ 平行移動したところ、②のグラフと重なりました。このとき、$a, b$ の値を求めます。

(6) 放物線 $y = -3x^2 + x + 1$ をy軸に関して対称移動した放物線の式を求めます。

2. 解き方の手順

(5)

まず、①の関数を平方完成します。

$y = 2(x^2 + \frac{3}{2}x) - 3 = 2(x^2 + \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2) - 2(\frac{3}{4})^2 - 3 = 2(x + \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} - 3 = 2(x + \frac{3}{4})^2 - \frac{33}{8}$

次に、②の関数を平方完成します。

$y = 2(x^2 - 2x) = 2(x^2 - 2x + 1) - 2 = 2(x - 1)^2 - 2$

①の頂点は $(-\frac{3}{4}, -\frac{33}{8})$ であり、②の頂点は $(1, -2)$ です。

①のグラフをx軸方向に $a$, y軸方向に $b$ 平行移動すると、頂点は $(-\frac{3}{4} + a, -\frac{33}{8} + b)$ となります。

これが②の頂点 $(1, -2)$ と一致するので、以下の連立方程式が得られます。

$-\frac{3}{4} + a = 1$

$-\frac{33}{8} + b = -2$

上の式から $a = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

下の式から $b = -2 + \frac{33}{8} = \frac{-16 + 33}{8} = \frac{17}{8}$

(6)

y軸に関して対称移動するということは、$x$ を $-x$ に置き換えるということです。

したがって、$y = -3(-x)^2 + (-x) + 1 = -3x^2 - x + 1$

3. 最終的な答え

(5)

$a = \frac{7}{4}, b = \frac{17}{8}$

(6)

$y = -3x^2 - x + 1$