次の6つの2次方程式を解きます。 (1) $3x^2+7x+1=0$ (2) $x^2-3x-2=0$ (3) $x^2+2x-1=0$ (4) $2x^2-4x-7=0$ (5) $9x^2-12x+4=0$ (6) $x^2-2\sqrt{3}x+3=0$

はい、承知しました。2次方程式を解きます。

1. 問題の内容

次の6つの2次方程式を解きます。

(1) $3x^2+7x+1=0$

(2) $x^2-3x-2=0$

(3) $x^2+2x-1=0$

(4) $2x^2-4x-7=0$

(5) $9x^2-12x+4=0$

(6) $x^2-2\sqrt{3}x+3=0$

2. 解き方の手順

すべての2次方程式は $ax^2+bx+c=0$ の形で表され、解の公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ を用いて解くことができます。

(1) $3x^2+7x+1=0$ の場合、 $a=3$, $b=7$, $c=1$ なので、

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 12}}{6} = \frac{-7 \pm \sqrt{37}}{6}$

(2) $x^2-3x-2=0$ の場合、$a=1$, $b=-3$, $c=-2$ なので、

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

(3) $x^2+2x-1=0$ の場合、$a=1$, $b=2$, $c=-1$ なので、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

(4) $2x^2-4x-7=0$ の場合、$a=2$, $b=-4$, $c=-7$ なので、

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7)}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 56}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{4} = \frac{4 \pm 6\sqrt{2}}{4} = \frac{2 \pm 3\sqrt{2}}{2}$

(5) $9x^2-12x+4=0$ の場合、$a=9$, $b=-12$, $c=4$ なので、

$x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 144}}{18} = \frac{12 \pm 0}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

(6) $x^2-2\sqrt{3}x+3=0$ の場合、$a=1$, $b=-2\sqrt{3}$, $c=3$ なので、

$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 12}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 0}{2} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{-7 \pm \sqrt{37}}{6}$

(2) $x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

(3) $x = -1 \pm \sqrt{2}$

(4) $x = \frac{2 \pm 3\sqrt{2}}{2}$

(5) $x = \frac{2}{3}$

(6) $x = \sqrt{3}$