ある商品の売価が600円のとき、500個の売り上げがあります。売価を10円ずつ値上げするごとに、売り上げは5個ずつ減っていきます。最大の売り上げ金額を得るための売価を求めます。

1. 問題の内容

ある商品の売価が600円のとき、500個の売り上げがあります。売価を10円ずつ値上げするごとに、売り上げは5個ずつ減っていきます。最大の売り上げ金額を得るための売価を求めます。

2. 解き方の手順

まず、値上げする回数を $x$ とします。

売価は $600 + 10x$ 円になり、売り上げ個数は $500 - 5x$ 個になります。

売り上げ金額 $S$ は、売価と売り上げ個数の積で表されます。

$$S = (600 + 10x)(500 - 5x)$$

これを展開すると、

$$S = 300000 - 3000x + 5000x - 50x^2$$

$$S = -50x^2 + 2000x + 300000$$

売り上げ金額が最大になるのは、この2次関数が最大値を取るときです。平方完成を行い、頂点を求めます。

$$S = -50(x^2 - 40x) + 300000$$

$$S = -50(x^2 - 40x + 400 - 400) + 300000$$

$$S = -50((x - 20)^2 - 400) + 300000$$

$$S = -50(x - 20)^2 + 20000 + 300000$$

$$S = -50(x - 20)^2 + 320000$$

この式から、$x = 20$ のとき、$S$ は最大値320000を取ることがわかります。

したがって、最大の売り上げ金額を得るための売価は、

$600 + 10x = 600 + 10(20) = 600 + 200 = 800$ 円です。

3. 最終的な答え

800円