問題は、次の不等式を解くことです。 $0 < 18 - 26 + 40x < (5x+2)(x-3)$

1. 問題の内容

問題は、次の不等式を解くことです。

$0 < 18 - 26 + 40x < (5x+2)(x-3)$

2. 解き方の手順

まず、不等式を整理します。

$0 < 18 - 26 + 40x$ の部分を計算します。

$18 - 26 = -8$ なので、

$0 < -8 + 40x$

$8 < 40x$

$x > \frac{8}{40} = \frac{1}{5}$

次に、$40x < (5x+2)(x-3)$ の部分を計算します。

$40x < 5x^2 - 15x + 2x - 6$

$40x < 5x^2 - 13x - 6$

$0 < 5x^2 - 53x - 6$

$5x^2 - 53x - 6 > 0$

この2次不等式を解くために、まず2次方程式 $5x^2 - 53x - 6 = 0$ を解きます。

解の公式を使うと、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{53 \pm \sqrt{(-53)^2 - 4(5)(-6)}}{2(5)}$

$x = \frac{53 \pm \sqrt{2809 + 120}}{10}$

$x = \frac{53 \pm \sqrt{2929}}{10}$

$x = \frac{53 \pm 54.12}{10}$

$x_1 = \frac{53 - 54.12}{10} = \frac{-1.12}{10} = -0.112$

$x_2 = \frac{53 + 54.12}{10} = \frac{107.12}{10} = 10.712$

$5x^2 - 53x - 6 > 0$ となるのは、$x < -0.112$ または $x > 10.712$ のときです。

$x > \frac{1}{5} = 0.2$ と $x < -0.112$ または $x > 10.712$ の共通範囲を求めます。

$x > 0.2$ と $x < -0.112$ を満たす $x$ は存在しません。

$x > 0.2$ と $x > 10.712$ を満たす $x$ は $x > 10.712$ です。

3. 最終的な答え

$x > \frac{53 + \sqrt{2929}}{10}$

または

$x > 10.712$