問題は2つあります。 * 1つ目の問題は、$51^2$, $52^2$, $53^2$ を筆算で計算し、その結果をもとに、十の位が5である2桁の数の2乗を速算する方法を予測し、空欄を埋めるものです。 * 2つ目の問題は、1つ目の問題で予想した速算の方法が正しいことを証明するものです。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

* 1つ目の問題は、$51^2$, $52^2$, $53^2$ を筆算で計算し、その結果をもとに、十の位が5である2桁の数の2乗を速算する方法を予測し、空欄を埋めるものです。

* 2つ目の問題は、1つ目の問題で予想した速算の方法が正しいことを証明するものです。

2. 解き方の手順

まず、$51^2$, $52^2$, $53^2$を筆算で計算します。

$51 \times 51 = 2601$

$52 \times 52 = 2704$

$53 \times 53 = 2809$

次に、これらの計算結果から速算の方法を予想します。

下2桁を見ると、$01 = 1^2$, $04 = 2^2$, $09 = 3^2$ となっています。つまり、下2桁は一の位の数字の2乗です。

百以上の位を見ると、$26 = 5^2+1$, $27 = 5^2+2$, $28 = 5^2+3$ となっています。

つまり、百以上の位は、5の2乗に一の位の数字を足したものです。

したがって、十の位が5である2桁の自然数の2乗の速算の方法は以下のようになります。

* 下2桁は、一の位の数字の2乗になる。

* 百以上の位は、$5^2$（25）に一の位の数字を足したものになる。

次に、この速算の方法が正しいことを証明します。

十の位が5である2桁の自然数は、一の位を $x$ とすると、$50+x$ と表されます。

したがって、その自然数の2乗は、

$(50+x)^2 = 50^2 + 2 \times 50 \times x + x^2 = 2500 + 100x + x^2 = 2500 + 100x + x^2$

$=100(25+x)+x^2$

これは、$25+x$ が百以上の位を表し、$x^2$ が下2桁を表すことを示しています。したがって、速算の方法は正しいです。

3. 最終的な答え

* 下2けたが、一の位の2乗 になる。

* 百以上の位が、$25 + 一の位$ になる。