縦30cm、横20cmの長方形がある。この長方形の縦を$x$cm縮め、横を$2x$cm伸ばした長方形を作る。$x > 0$とする。 (1) 変形後の長方形の面積が変わらないとき、$x$の値を求める。 (2) 変形後の長方形の面積が、元の長方形の面積より88cm$^2$減ったとき、$x$の値を求める。

1. 問題の内容

縦30cm、横20cmの長方形がある。この長方形の縦を$x$cm縮め、横を$2x$cm伸ばした長方形を作る。$x > 0$とする。

(1) 変形後の長方形の面積が変わらないとき、$x$の値を求める。

(2) 変形後の長方形の面積が、元の長方形の面積より88cm$^2$減ったとき、$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 元の長方形の面積は $30 \times 20 = 600$ cm$^2$。

変形後の長方形の縦は $(30 - x)$ cm、横は $(20 + 2x)$ cm。

変形後の長方形の面積は $(30 - x)(20 + 2x)$ cm$^2$。

面積が変わらないので、

$(30 - x)(20 + 2x) = 600$

$600 + 60x - 20x - 2x^2 = 600$

$-2x^2 + 40x = 0$

$2x^2 - 40x = 0$

$2x(x - 20) = 0$

$x = 0$ または $x = 20$

$x > 0$より、$x = 20$

(2) 変形後の長方形の面積が、元の長方形の面積より88cm$^2$減るので、

$(30 - x)(20 + 2x) = 600 - 88$

$(30 - x)(20 + 2x) = 512$

$600 + 60x - 20x - 2x^2 = 512$

$-2x^2 + 40x + 600 = 512$

$-2x^2 + 40x + 88 = 0$

$2x^2 - 40x - 88 = 0$

$x^2 - 20x - 44 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4(1)(-44)}}{2(1)}$

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 176}}{2}$

$x = \frac{20 \pm \sqrt{576}}{2}$

$x = \frac{20 \pm 24}{2}$

$x = 10 \pm 12$

$x = 22$ または $x = -2$

$x > 0$より、$x = 22$

3. 最終的な答え

(1) $x = 20$

(2) $x = 22$