不等式 $2x - 3 > a + 8x$ について、以下の3つの問いに答えます。 (1) 解が $x < 1$ となるように、定数 $a$ の値を求めます。 (2) 解が $x = 0$ を含むように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。 (3) この不等式を満たす $x$ のうち、最大の整数が $0$ となるように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

不等式 $2x - 3 > a + 8x$ について、以下の3つの問いに答えます。

(1) 解が $x < 1$ となるように、定数 $a$ の値を求めます。

(2) 解が $x = 0$ を含むように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

(3) この不等式を満たす $x$ のうち、最大の整数が $0$ となるように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形します。

$2x - 3 > a + 8x$

$-6x > a + 3$

$6x < -a - 3$

(1)

$x < \frac{-a - 3}{6}$

解が $x < 1$ となるためには、$\frac{-a - 3}{6} = 1$ であればよいです。

$-a - 3 = 6$

$-a = 9$

$a = -9$

(2)

解が $x=0$ を含むためには、$x=0$ が不等式を満たす必要があります。

$2(0) - 3 > a + 8(0)$

$-3 > a$

$a < -3$

(3)

不等式を満たす最大の整数が $0$ であるということは、解の範囲が $x < \frac{-a - 3}{6}$ であり、かつ

$0 < \frac{-a-3}{6} \le 1$ である必要があります。

まず、$0 < \frac{-a-3}{6}$ より

$0 < -a - 3$

$a < -3$

次に、$\frac{-a-3}{6} \le 1$ より

$-a - 3 \le 6$

$-a \le 9$

$a \ge -9$

したがって、$-9 \le a < -3$

3. 最終的な答え

(1) $a = -9$

(2) $a < -3$

(3) $-9 \le a < -3$