与えられた問題は、総和の記号（$\Sigma$）を用いて、$k=1$から$k=N$までの $k(k+5)$ の総和を求める問題です。つまり、 $\sum_{k=1}^{N} k(k+5)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた問題は、総和の記号（$\Sigma$）を用いて、$k=1$から$k=N$までの $k(k+5)$ の総和を求める問題です。つまり、

$\sum_{k=1}^{N} k(k+5)$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$k(k+5)$ を展開します。

$k(k+5) = k^2 + 5k$

したがって、総和は以下のようになります。

$\sum_{k=1}^{N} k(k+5) = \sum_{k=1}^{N} (k^2 + 5k)$

総和の性質を利用して、各項に分解します。

$\sum_{k=1}^{N} (k^2 + 5k) = \sum_{k=1}^{N} k^2 + \sum_{k=1}^{N} 5k$

定数は総和の外に出せるので、

$\sum_{k=1}^{N} k^2 + \sum_{k=1}^{N} 5k = \sum_{k=1}^{N} k^2 + 5 \sum_{k=1}^{N} k$

$\sum_{k=1}^{N} k^2$ と $\sum_{k=1}^{N} k$ の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{N} k = \frac{N(N+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{N} k^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$

これらを代入します。

$\sum_{k=1}^{N} k^2 + 5 \sum_{k=1}^{N} k = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} + 5 \frac{N(N+1)}{2}$

共通因数 $\frac{N(N+1)}{2}$ でくくります。

$\frac{N(N+1)(2N+1)}{6} + 5 \frac{N(N+1)}{2} = \frac{N(N+1)}{2} (\frac{2N+1}{3} + 5)$

括弧の中を計算します。

$\frac{2N+1}{3} + 5 = \frac{2N+1+15}{3} = \frac{2N+16}{3}$

したがって、

$\frac{N(N+1)}{2} (\frac{2N+16}{3}) = \frac{N(N+1)(2N+16)}{6} = \frac{N(N+1)(N+8)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{N(N+1)(N+8)}{3}$