与えられた行列 $A$ のランク（階数）を求める問題です。ここで、$A$ は以下の通りです。 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & \alpha & 1 & 1 \end{pmatrix} $ ただし、$\alpha$ は実数です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ のランク（階数）を求める問題です。ここで、$A$ は以下の通りです。

$$

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & \alpha & 1 & 1 \end{pmatrix}

$$

ただし、$\alpha$ は実数です。

2. 解き方の手順

行列のランクは、その行列の線形独立な行（または列）の最大数です。行列のランクを求めるには、行基本変形（掃き出し法）を行って階段行列に変形し、ゼロでない行の数を数えるのが一般的です。

まず、与えられた行列 $A$ を行基本変形します。

$$

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & \alpha & 1 & 1 \end{pmatrix}

$$

3行目から2行目の$\alpha$倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & \alpha & 1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \to R_3 - \alpha R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 - \alpha & 1 - \alpha \end{pmatrix}

$$

ここで、$\alpha$ の値によって場合分けをします。

- $\alpha \neq 1$ の場合：

3行目はゼロベクトルではないので、ランクは3です。

- $\alpha = 1$ の場合：

$A$ は

$$

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

$$

となり、ゼロでない行は2行なので、ランクは2です。

3. 最終的な答え

- $\alpha \neq 1$ のとき、ランクは3。

- $\alpha = 1$ のとき、ランクは2。