与えられた式 $a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc$ を展開し、整理して簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc$ を展開し、整理して簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、各項を展開します。

$a(b+c)^2 = a(b^2 + 2bc + c^2) = ab^2 + 2abc + ac^2$

$b(c+a)^2 = b(c^2 + 2ac + a^2) = bc^2 + 2abc + ba^2$

$c(a+b)^2 = c(a^2 + 2ab + b^2) = ca^2 + 2abc + cb^2$

次に、これらを足し合わせます。

$a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 = (ab^2 + 2abc + ac^2) + (bc^2 + 2abc + ba^2) + (ca^2 + 2abc + cb^2)$

$= ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 6abc$

最後に、$-4abc$ を引きます。

$ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 6abc - 4abc = ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

これを整理すると、

$ab^2 + a^2b + ac^2 + a^2c + bc^2 + b^2c + 2abc$

$= (ab^2 + a^2b + abc) + (ac^2 + a^2c + abc) + bc^2 + b^2c - 2abc$

$= ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c) + 2abc$

$= ab(a+b+c) + ac(a+b+c) + bc(a+b+c) -abc-abc-abc + 2abc$

$= (ab+ac+bc)(a+b+c) -3abc +2abc$

$=(a+b)(b+c)(a+c)$

したがって、与えられた式は $(a+b)(b+c)(c+a)$ に等しくなります。

別の方法として、

$ab^2+a^2b+ac^2+a^2c+bc^2+b^2c+2abc$を並び替える。

$ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c) + 2abc$

$ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c) - abc - abc -abc +2abc$

$(ab+ac+bc)(a+b+c) - abc$

$(a+b)(b+c)(a+c)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$