行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$A + B$ を計算します。

## 問題1 (1) の解答

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$A + B$ を計算します。

2. 解き方の手順

行列の足し算は、対応する成分同士を足し合わせます。

$A + B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$

$A + B = \begin{pmatrix} 3 + (-2) & -2 + 1 \\ -4 + 3 & 1 + 2 \end{pmatrix}$

$A + B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A + B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

## 問題1 (2) の解答

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$A - B$ を計算します。

2. 解き方の手順

行列の引き算は、対応する成分同士を引き合わせます。

$A - B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$

$A - B = \begin{pmatrix} 3 - (-2) & -2 - 1 \\ -4 - 3 & 1 - 2 \end{pmatrix}$

$A - B = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -7 & -1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A - B = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -7 & -1 \end{pmatrix}$

## 問題1 (3) の解答

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$2A - 3B$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$2A$ と $3B$ を計算します。行列のスカラー倍は、各成分にスカラーを掛けます。

$2A = 2 \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -4 \\ -8 & 2 \end{pmatrix}$

$3B = 3 \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 3 \\ 9 & 6 \end{pmatrix}$

次に、$2A - 3B$ を計算します。

$2A - 3B = \begin{pmatrix} 6 & -4 \\ -8 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -6 & 3 \\ 9 & 6 \end{pmatrix}$

$2A - 3B = \begin{pmatrix} 6 - (-6) & -4 - 3 \\ -8 - 9 & 2 - 6 \end{pmatrix}$

$2A - 3B = \begin{pmatrix} 12 & -7 \\ -17 & -4 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$2A - 3B = \begin{pmatrix} 12 & -7 \\ -17 & -4 \end{pmatrix}$

## 問題1 (4) の解答

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$-3A + 2B$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$-3A$ と $2B$ を計算します。行列のスカラー倍は、各成分にスカラーを掛けます。

$-3A = -3 \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & 6 \\ 12 & -3 \end{pmatrix}$

$2B = 2 \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$

次に、$-3A + 2B$ を計算します。

$-3A + 2B = \begin{pmatrix} -9 & 6 \\ 12 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$

$-3A + 2B = \begin{pmatrix} -9 + (-4) & 6 + 2 \\ 12 + 6 & -3 + 4 \end{pmatrix}$

$-3A + 2B = \begin{pmatrix} -13 & 8 \\ 18 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$-3A + 2B = \begin{pmatrix} -13 & 8 \\ 18 & 1 \end{pmatrix}$

## 問題1 (5) の解答

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$AB$ を計算します。

2. 解き方の手順

行列の積は、以下の手順で計算します。

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj}$

ここで、$n$ は $A$ の列数であり、$B$ の行数です。

$AB = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} (3)(-2) + (-2)(3) & (3)(1) + (-2)(2) \\ (-4)(-2) + (1)(3) & (-4)(1) + (1)(2) \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} -6 - 6 & 3 - 4 \\ 8 + 3 & -4 + 2 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} -12 & -1 \\ 11 & -2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$AB = \begin{pmatrix} -12 & -1 \\ 11 & -2 \end{pmatrix}$

## 問題1 (6) の解答

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$BA$ を計算します。

2. 解き方の手順

行列の積は、以下の手順で計算します。

$(BA)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} B_{ik}A_{kj}$

ここで、$n$ は $B$ の列数であり、$A$ の行数です。

$BA = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} (-2)(3) + (1)(-4) & (-2)(-2) + (1)(1) \\ (3)(3) + (2)(-4) & (3)(-2) + (2)(1) \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} -6 - 4 & 4 + 1 \\ 9 - 8 & -6 + 2 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} -10 & 5 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$BA = \begin{pmatrix} -10 & 5 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}$

## 問題1 (7) の解答

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$AB - BA$ を計算します。

2. 解き方の手順

問題1(5)と(6)で、$AB$と$BA$はすでに計算済みです。

$AB = \begin{pmatrix} -12 & -1 \\ 11 & -2 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} -10 & 5 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}$

よって、

$AB - BA = \begin{pmatrix} -12 & -1 \\ 11 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -10 & 5 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}$

$AB - BA = \begin{pmatrix} -12 - (-10) & -1 - 5 \\ 11 - 1 & -2 - (-4) \end{pmatrix}$

$AB - BA = \begin{pmatrix} -2 & -6 \\ 10 & 2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$AB - BA = \begin{pmatrix} -2 & -6 \\ 10 & 2 \end{pmatrix}$

## 問題2 (1) の解答

1. 問題の内容

行列 $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ の逆行列が存在するか判断し、存在する場合はそれを求めます。

2. 解き方の手順

行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列が存在するための条件は、行列式 $ad - bc \neq 0$ であることです。

与えられた行列の行列式は、$4(-1) - (-1)(3) = -4 + 3 = -1$ です。

行列式が0でないので、逆行列が存在します。

逆行列は、$\frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ で与えられます。

したがって、

$\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

逆行列は存在し、$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$ です。

## 問題3 (1) の解答

1. 問題の内容

連立一次方程式

$6x_1 + 7x_2 = 1$

$5x_1 + 6x_2 = -2$

の解を逆行列を利用して求めます。

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式は、行列を用いて次のように表すことができます。

$\begin{pmatrix} 6 & 7 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

係数行列を $A = \begin{pmatrix} 6 & 7 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ とし、解ベクトルを $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$、定数ベクトルを $b = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ とすると、$Ax = b$ となります。

このとき、$x = A^{-1}b$ で解が求まります。

まず、$A$ の逆行列を求めます。

$A$ の行列式は、$6(6) - 7(5) = 36 - 35 = 1$ です。

よって、$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -5 & 6 \end{pmatrix}$

したがって、

$x = \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (6)(1) + (-7)(-2) \\ (-5)(1) + (6)(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 + 14 \\ -5 - 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 \\ -17 \end{pmatrix}$

よって、$x_1 = 20$, $x_2 = -17$

3. 最終的な答え

$x_1 = 20$, $x_2 = -17$