順列 $_nP_r$ と組み合わせ $_nC_r$ の式にある空欄を、選択肢の中から適切な記号で埋める問題です。

1. 問題の内容

順列 $_nP_r$ と組み合わせ $_nC_r$ の式にある空欄を、選択肢の中から適切な記号で埋める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 順列 $_nP_r$ の式を考えます。

$_nP_r = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)$ です。

従って、10に入るのは $(n-1)$ なので、イ。

11に入るのは $(n-r+1)$ なので、ク。

(2) 組み合わせ $_nC_r$ の式を考えます。

$_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!}$ です。

$_nC_r = \frac{_nP_r}{r!} = \frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r(r-1)\cdots2\cdot1}$

分子は $n$ から $r$ 個の連続する整数をかけたものです。

分母は $r!$です。

分子に着目すると、問題文の式は $n(n-1)\cdots$ となっているので、最後の項は $(n-r+1)$ になります。

従って、14に入るのは $(n-r+1)$ なので、ク。

分母は $r(r-1)\cdots 2\cdot 1$ なので、$r!$です。

従って、15に入るのは $r$ なので、エ。

$_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$であり、$_nC_r$の左辺は$_nC_r$なので、12は$n!$、13は$r!(n-r)!$となる。

しかし、選択肢に$r!(n-r)!$がない。

$_nC_r = \frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!} = \frac{_nP_r}{r!}$より、12は$_nP_r$、13は$r!$となる。

従って、12に入るのは $_nP_r$ なので、サ。

13に入るのは $r!$ なので、コ。

3. 最終的な答え

10：イ

11：ク

12：サ

13：コ

14：ク

15：エ