放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ を平行移動したもので、2点 $(-3, 3)$, $(2, 8)$ を通る放物線の方程式を求め、そのグラフを描く。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ を平行移動したもので、2点 $(-3, 3)$, $(2, 8)$ を通る放物線の方程式を求め、そのグラフを描く。

2. 解き方の手順

平行移動した放物線の方程式を $y = x^2 - 3x + 4 + a$ とおく。（$a$ は定数）

この放物線が2点 $(-3, 3)$, $(2, 8)$ を通るので、それぞれの座標を代入して $a$ を求める。

まず、$(-3, 3)$ を代入すると、

$3 = (-3)^2 - 3(-3) + 4 + a$

$3 = 9 + 9 + 4 + a$

$3 = 22 + a$

$a = 3 - 22 = -19$

次に、$(2, 8)$ を代入すると、

$8 = (2)^2 - 3(2) + 4 + a$

$8 = 4 - 6 + 4 + a$

$8 = 2 + a$

$a = 8 - 2 = 6$

2つの式から得られた $a$ の値が異なるので、$y = x^2 - 3x + 4 + a$ という仮定が間違っている。

平行移動した放物線の方程式を $y = x^2 - 3x + c$ とおく。（$c$ は定数）

この放物線が2点 $(-3, 3)$, $(2, 8)$ を通るので、それぞれの座標を代入して $c$ を求める。

まず、$(-3, 3)$ を代入すると、

$3 = (-3)^2 - 3(-3) + c$

$3 = 9 + 9 + c$

$3 = 18 + c$

$c = 3 - 18 = -15$

次に、$(2, 8)$ を代入すると、

$8 = (2)^2 - 3(2) + c$

$8 = 4 - 6 + c$

$8 = -2 + c$

$c = 8 + 2 = 10$

これも矛盾が生じる。

放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ を平行移動したものは、$y = (x - p)^2 - 3(x - p) + 4 + q$ と表せるはずがないので、$y = x^2 - 3x + d$の形になると勘違いしていた。

放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ を平行移動した放物線は、$y = x^2 + bx + c$ の形である。

点 $(-3, 3)$ と $(2, 8)$ を通るから、

$3 = (-3)^2 + b(-3) + c$

$3 = 9 - 3b + c$

$8 = (2)^2 + b(2) + c$

$8 = 4 + 2b + c$

整理すると

$-3b + c = -6$

$2b + c = 4$

2つの式を連立して解く。

$2b + c = 4$ から $c = 4 - 2b$

$-3b + (4 - 2b) = -6$

$-5b = -10$

$b = 2$

$c = 4 - 2(2) = 0$

したがって、求める放物線の方程式は $y = x^2 + 2x$ である。

グラフは、$y = x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1$ より、頂点が $(-1, -1)$ であり、$y$切片が $0$ の放物線。

3. 最終的な答え

$y = x^2 + 2x$

（グラフは省略）