与えられた6つの分数の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ (3) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ (4) $\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ (5) $\frac{3}{\sqrt{7}-1}$ (6) $\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$

1. 問題の内容

与えられた6つの分数の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

(4) $\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$

(5) $\frac{3}{\sqrt{7}-1}$

(6) $\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$

2. 解き方の手順

分母の有理化は、分母と共役な数を分子と分母にかけることで行います。

(1) $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$の場合、分母の共役な数は$\sqrt{6}-\sqrt{2}$なので、分子と分母にこれをかけます。

$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{6-2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$の場合、分母の共役な数は$\sqrt{5}+\sqrt{3}$なので、分子と分母にこれをかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$の場合、分母の共役な数は$\sqrt{3}-\sqrt{2}$なので、分子と分母にこれをかけます。

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

(4) $\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$の場合、分母の共役な数は$\sqrt{7}+\sqrt{3}$なので、分子と分母にこれをかけます。

$\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$

(5) $\frac{3}{\sqrt{7}-1}$の場合、分母の共役な数は$\sqrt{7}+1$なので、分子と分母にこれをかけます。

$\frac{3}{\sqrt{7}-1} = \frac{3}{\sqrt{7}-1} \cdot \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}+1} = \frac{3(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7})^2-1^2} = \frac{3(\sqrt{7}+1)}{7-1} = \frac{3(\sqrt{7}+1)}{6} = \frac{\sqrt{7}+1}{2}$

(6) $\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$の場合、分母の共役な数は$\sqrt{5}+1$なので、分子と分母にこれをかけます。

$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1} = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1} \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} = \frac{(\sqrt{5}+1)^2}{(\sqrt{5})^2-1^2} = \frac{(\sqrt{5})^2+2\sqrt{5}+1}{5-1} = \frac{5+2\sqrt{5}+1}{4} = \frac{6+2\sqrt{5}}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

(2) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$

(3) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

(4) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$

(5) $\frac{\sqrt{7}+1}{2}$

(6) $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$