関数 $y = -x^2 + 2ax - 4a + 1$ （ただし $-1 \le x \le 2$）の最大値を求めよ。ここで、$a$ は定数である。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 2ax - 4a + 1$ （ただし $-1 \le x \le 2$）の最大値を求めよ。ここで、$a$ は定数である。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = -(x^2 - 2ax) - 4a + 1$

$y = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - 4a + 1$

$y = -(x - a)^2 + a^2 - 4a + 1$

この式から、この関数のグラフは、頂点が $(a, a^2 - 4a + 1)$ で、上に凸の放物線であることがわかる。

次に、定義域 $-1 \le x \le 2$ における最大値を考える。

(i) $a < -1$ のとき、区間 $-1 \le x \le 2$ で $x=-1$ のとき最大値をとる。

最大値は $y = -(-1)^2 + 2a(-1) - 4a + 1 = -1 - 2a - 4a + 1 = -6a$

(ii) $-1 \le a \le 2$ のとき、区間 $-1 \le x \le 2$ に頂点 $x=a$ が含まれるので、最大値は $y = a^2 - 4a + 1$

(iii) $2 < a$ のとき、区間 $-1 \le x \le 2$ で $x=2$ のとき最大値をとる。

最大値は $y = -(2)^2 + 2a(2) - 4a + 1 = -4 + 4a - 4a + 1 = -3$

したがって、

(i) $a < -1$ のとき、最大値は $-6a$

(ii) $-1 \le a \le 2$ のとき、最大値は $a^2 - 4a + 1$

(iii) $2 < a$ のとき、最大値は $-3$

3. 最終的な答え

$a < -1$ のとき、最大値は $-6a$

$-1 \le a \le 2$ のとき、最大値は $a^2 - 4a + 1$

$2 < a$ のとき、最大値は $-3$