与えられた2つの式を因数分解し、空欄に当てはまる値を求める。 (1) $x^4 - 8x^2 + 4 = (x^2 + \boxed{}x - \boxed{})(x^2 - 2x - 2)$ (2) $(x-1)(x+1)(x+2)(x+4) - 72 = (x + \boxed{})(x - \boxed{})(x^2 + 3x + 8)$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解し、空欄に当てはまる値を求める。

(1) $x^4 - 8x^2 + 4 = (x^2 + \boxed{}x - \boxed{})(x^2 - 2x - 2)$

(2) $(x-1)(x+1)(x+2)(x+4) - 72 = (x + \boxed{})(x - \boxed{})(x^2 + 3x + 8)$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた因数分解の式を展開して、係数を比較することで空欄を埋める。

$(x^2 + ax + b)(x^2 - 2x - 2) = x^4 + (a-2)x^3 + (-2-2a+b)x^2 + (-2a-2b)x - 2b$

$x^4 - 8x^2 + 4$ と係数を比較すると、

$a - 2 = 0$ より $a = 2$

$-2 - 2a + b = -8$ より $-2 - 4 + b = -8$ つまり $b = -2$

$-2a - 2b = -4 + 4 = 0$

$-2b = 4$

したがって、$a = 2$, $b = -2$ となる。

(2)

$(x-1)(x+1)(x+2)(x+4) - 72$ を整理する。

$(x-1)(x+4)(x+1)(x+2) - 72 = (x^2 + 3x - 4)(x^2 + 3x + 2) - 72$

$X = x^2 + 3x$ と置くと

$(X - 4)(X + 2) - 72 = X^2 - 2X - 8 - 72 = X^2 - 2X - 80 = (X - 10)(X + 8)$

$X = x^2 + 3x$ を代入すると

$(x^2 + 3x - 10)(x^2 + 3x + 8) = (x + 5)(x - 2)(x^2 + 3x + 8)$

したがって、$(x + 5)(x - 2)(x^2 + 3x + 8)$となる。

3. 最終的な答え

(1) 34-1: 2, 34-2: 2

(2) 35-1: 5, 35-2: 2